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Serie X X V .

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durch Projection alle iibrigen gewonnen werden konnen. U m keine einzelne vor den anderen gleichberechtigten auszuzeichnen, setzt er an die Stelle der C u r v e n die projicierenden K e g e l und unterscheidet von diesen 7 Gattungen. 1st das Geschlecht der C u r v e n also auch der projicierenden Kegel, gleich Null, so gibt es nur drei projectiv verschiedene Gestalten von Kegeln, wahrend es fur das Geschlecht Eins deren unendlich viele gibt. Aber unter den letzteren sind doch wesentliche Unterschiede in der Gestalt vorhanden. So kann ein solcher Kegel entweder allein aus einem unpaaren Mantel oder aus einem solchen und einem hinzutretenden paaren Mantel bestehen, und m a n wild bei Berucksichtigung dieses Unterschiedes zwei Gattungen von Kegeln vom Geschlechte Eins zu unterscheiden haben, die zusammen mit den drei Gattungen v o m Geschlechte Null den 5 Newton'schen Parabeln entsprechen. Aber unter den einmanteligen Kegeln v o m Geschlechte Eins gibt es noch einen ausgezeichneten, bei d e m namlich die drei Beruhrebenen der Wendekanten durch eine Gerade hindurchgehen, und dieser ist ein Zwischenglied zwischen solchen, bei denen der Kegelmantel sich entweder durch drei Dreikante oder durch drei Vierkante hindurchwindet, die durch jene drei Beruhrebenen und die Ebene der drei Wendekanten begrenzt werden. So k o m m t m a n mit M o b i u s zu d e n 7 G a t t u n g e n v o n K e g e l n , die d u r c h die vorliegenden F a d e n m o d e l l e dargestellt werden. Diese Modelle sollen also auch hauptsachlich d e m S t u d i u m der C u r v e n dritter O r d n u n g dienen, insofern es diejenigen Gestalten betrifft, die durch ihr Verhalten gegen die unendlich feme Gerade bedingt sind. Legt m a n irgend eine schneidende Ebene durch einen der 7 Kegel dritter Ordnung, so erhalt m a n eine Schnittcurve, die drei unendlich f e m e P u n k t e besitzt. V o n diesen konnen sein: a. alle drei getrennt, und zwar a. alle drei reell, /?. einer reell und zwei conjugiert imaginar; b. zwei z u s a m m e n f a l l e n d u n d einer d a v o n getrennt, c. alle drei in einen einzigen z u s a m m e n f a l l e n d . Dabei kann das Zusammenfallen zweier Punkte bei b und c verschiedene Ursache haben, je nachdem die unendlich feme Gerade die Curve beriihrt oder durch einen Doppelpunkt geht. Diese Unterschiede ergeben eine gewisse Einteilung der Curven in Arten, denen eine feinere Teilung in Unterarten noch folgen kann; und je nachdem die Teilung mehr oder weniger weit verfolgt wird, er-