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Serie XIII.

Schon verschiedentlich sind specielle Flachen vierter Ordnung modelliert worden; es sei nur erinnert an die Flachen mit 16 Knotenpunkten, an die Pliicker'schen Complexflachen, an eine Art von Flachen mit 12 Knoten, sowie an die Cycliden. Das Modellieren solcher Flachen ist in der Regel eine Folge der genaueren Kenntnis der Eigenschaften derselben. Die Kenntnis verschiedener Eigenschaften der Regelflachen vierter Ordnung ist aber bereits friiher durch mehrere Abhandlungen und ein Einblick in ihre verschiedenen Gestalten neuerdings durch die Abhandlung des Verfassers gewonnen worden, so dass die Modelle dieser Regelflachen schon aus diesem Grunde ein allgemeineres Interesse verdienen. Einen zweiten wesentlichen Grund flir die Bedeutung und den Wert dieser Modelle findet der Verfasser aber darin, dass sie in der grossen Gattung der Regelflachen so ziemlich die ersten sind. Ausser einigen abwickelbaren Flachen — also Regelflachen speciellster Art — und den drei Regelflachen dritter Ordnung sind Regelflachen nicht modelliert. U n d doch sind gerade die Regelflachen besonders instiuctiv, und die Fadenmodelle haben den grossen Vorzug, das m a n ihre Conturen ihrer ganzen Erstreckung nach wirklich sehen kann. Bei den vorliegenden Regelflachen ergeben sich als Projectionen Curven vierter Klasse mit zwei resp. drei Doppeltangenten oder einer dreifachen Tangente, Curven, welche manche Eigentumlichkeiten aufweisen. Je nach der Art der vielfachen Curve unterscheidet m a n Regelflachen mit zwei D o p p e l g e r a d e n , Regelflachen mit einer dreifachen G e r a d e n , Regelflachen mit e i n e m D o p p e l k e g e l s c h n i t t u n d einer D o p p e l g e r a d e n und Regelflachen mit einer D o p p e l c u r v e dritter O r d n u n g , Flachen der ersten Art stellen die Modelle i, 2, 3, 4 und 5 vor, Flachen der zweiten Art die Modelle 6 und 7, eine Flache der dritten Art das Modell 8, undendlich zwei Flachen der letzten Art die Modelle 9 und 10. Die Modelle 1 bis 5 geben iiber die Flachen der ersten Art einen Ueberblick, wahrend bei den iibrigen Arten nur die Falle modelliert wurden welche besonders interessant sind und ohne Modelle sich schwerer vorstellen lassen. N o c h ist zu erwahnen, dass alle Modelle s y m m e t r i s c h gebaut sind; dadurch gewinnen sie ungemein an Uebersichtlichkeit, ohne an ihrer Allgemeinheit einzubiissen. Bei den Flachen 1, 2, 3 und 8, 9, 10 sind die Constanten ausserdem so gewahlt, dass die Erzeugenden sich in windschiefe Vierseite anordnen lassen, was fur die Gestalten dieser Flachen durchaus keine Specialisierung bedeutet. Den Modellen ist eine 11/2 Bogen in gr. 8° umfassende Abhandlung beigefiigt. Veroffentlicht 1886.