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VII. Infinitesimalgeometrie der Flachen. ihre Krummungs- wie durch ihre Asymptotencurven in unendlich kleine Quadrate geteilt. (Die Indicatrix ist fiir diese Flachen eine gleichseitige Hyperbel, deshalb stehen auch die Asymptotencurven aufeinander senkrecht). Zu jeder Minimalflache gibt es eine zweite, ihre sog. Bonnet'sche Biegungsflache, welche auf sie derart abwickelbar ist, dass die Krummungslinien der einen in die Asymptotencurven der andern iibergehen. Vergl. Schwarz in Crelle's Journ. Bd. 80. 239—242. (II, 3.) Drei Typen von Rotationsflachen constanter mittlerer Krummung mit geodatischen Linien. Das Verhalten der letztereu ist je nach dem Winkel, unter dem eine den grossten Parallelkreis trifft, ein verschieclenes. Entweder bewegt sie sich zwischen 2 Parallelkreisen (blau) oder sie nahert sich asymptotisch dem Kehlkreis. d. L Parallelkreis vom kleinsten Eadius (griin), oder sie lauft liber die ganze Flache hin. Von stud. math. A. v. Braunmiihl in Miinchen (B). Erlauterung beigegeben.

f) Flachen v o n constanter mittlerer K r u m m u n g , Minimalflachen. Die Flachen von constanter mittlerer Krummung sind dadurch definiert, dass die Summe der reciproken Werte ihrer 2 Hauptkriimmungsradien an jeder Stelle denselben Zahlenwert besitzt. Die partielle Differentialgleichung, durch welche sie definiert sind, geht in eine integrierbare totale liber, wenn mansichauf Rotationsflachenbeschrankt, und zwar erhalt man fiir die Meridiancurve die Gleichung f r2±ala9 z= / . dr. Nach Delaunay (Comptes rendus XIII, 1841) ergibt sich die Meridiancurve dieser Flachen auch als diejenige Curve, die der Brennpunkt eines Kegelschnittes beim Abrollen auf einer Geraden beschreibt, welche dann Rotationsaxe wird. Den 3 Kegelschnitten Ellipse, Hyperbel, Parabel entsprechend, erhalt man 3 verschiedene Typen, die von Plateau in seinem Werke „Statique experimental et theorique des liquides etc." Onduloid, Nodoid, Catenoid genannt wurden. Nach Laplace werden die Gleichgewichtsfiguren von Fliissigkeiten, welche der Einwirkung der Schwere entzogen sind, von Flachen constanter mittlerer Krummung begrenzt. Geometrisch lassen sie sich auch als gewisse Parallelflachen zu Flachen von constantem positiven Kriimmungsmass deiinieren. Einen speciellen Fall davon bilden die Minimalflachen, deren mittlere Krummung Null ist. Dieselben haben die Eigenschaft, einen kleineren Flacheninhalt zu besitzen als jede andere benachbarte Flache, die durch eine beliebige auf ihr gefuhrte geschlossene Eandcurve hrndurchgelegt wird. Sie ergeben sich mechanisch als diejenigen Flachen, welche die zwischen eine gegebene Eandcurve sich einspannende Fliissigkeitshaut (z. B. durch Eintauchen eines Drahtes von der Form der Curve in Seifenlosung) annimmt. Die Minimalflachen werden sowohl durch

239. (II, 3 a.) Onduloid. Die Meridiancurve ergibt sich fiir ax = l cm., # 2 = 5,77 cm. . aus der oben angegebenen Gleichung, wenn von den 2 daselbst vorkommenden Vorzeichen das obere (positive) gewahlt wird. (12x26 cm.) . . . . . . . Mk. 10.50. 240. (II, 3 b.) Nodoid. a± und a2 wie oben. aber in der Gleichung ist das untere (negative) Yorzeichen zu wahlen. (11x8 cm.) Mk. 9.50. 241. (II, 3 c.) Ring des Nodoids, durch Umdrehung der Schleife der Meridiancurve von b entstanden. (9x3 cm.) Mk. 2.50.