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VII. Infinitesimal^ cietrie der Flachen. 242. (II, 3d.) Catenoid, durch Umdrehung der Kettenlinie u m ihre A^e entstanden. Ausser den 3 verschiedenen Typen von geodatischen Linien ist hier auch noch eine Asymptotencurve (gelb) aufgezeichnet. Diese Flache ist eine Minimalflache, sie besitzt die constante mittlere Kriimmung Null. (16x10 cm.) M k . 9.50. 243. (VIII, 6c.) Catenoid, grosser, mit aufgezeichneten Kriimmungslinien (weiss) und Asymptotencurven (rot). Diese Flache ist die Bonnet'sche Biegungsflache zur folgenden windschiefen Schraubenflache (Nr. 244, 245). Beim Aufbiegen beider auf einander geht der Kehlkreis in die Axe der letzteren iiber, die Meridiane in die geraden Erzeugenden, Parallelkreise in die Schraubenlinien (B). (20x14 cm.) . . M k . 12.—.

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Nr. 245. Von Herting in Munch en (B). Mk. 2.50.

245. (VIII, 6 a). Windschiefe Schraubenflache, Minimalflache, nebst Kriimmungslinien und Asymptotencurven; auf das Catenoid Nr. 243 abwickelbar. Von Herting in Miinchen (B). (23x22 cm.) M k . 19.50. 246. (VIII, 2.) Minimalflache 9. Ord. nach Enneper (vergl. Gottinger Nachrichten 1871, pag. 27 ft\). Sie besitzt 2 ebene Doppelcurven 3. Ord., in welchen die aufgezeichneten beiden Scharen von Kriimmungslinien (ebenfalls ebene Curven 3. Ord.; die Ebenen derselben sind alle einer Geraden parallel) einen Doppelpunkt besitzen. Die Flache hat ferner 3 dreifache Geraden, namlich die unendlich ferae Gerade in der Horizontalebene und die in einer solchen Ebene liegenden 2 roten Geraden. Y o n den 3 durch diese letztere gehenden Manteln sind aber 2 imaginar. Die Flache lasst sich dadurch mit sich selbst zur Deckung bringen, dass m a n die eine Doppelcurve in die andere verlegt. Ihre Bonnet'sche Biegungsflache ist sie selbst, d. h. die Flache kann auf sich selbst aufgebogen werden. Dabei gehen die Kriimmungslinien (weiss) in die Asymptotencurven (rot) iiber. Von Herting in Miinchen (B). Erlauterung beigegeben. (26x34 c m ) Mk. 24.—. 247. (XVII, 4 ) Catalan'sche Minimalflache. Diese Flache gehort bekanntlich zu den Minimalflachen, welche eine Schar reeller Curven zweiten Grades enthalten, und zwar sind es bei der Catalan'schen Flache Parabeln. Die Ebenen der Parabeln sind 10*

244. (VIII, 6 b.) Catenoid aus biegsamem Messingblech. Die U m d r e h u n g s f l a c h e der Kettenlinie wird in die windschiefe Schraubenflache dadurch iibergefiihrt, dass m a n an dem Messingblech

die Endpunkte des Kehlkreises fasst und diesen in eine Gerade auszieht, indem m a n gleichzeitig ein wenig dreht. Der Versuch ist iiberraschend. In der erst en Gestalt passt das Blech auf das Catenoid Nr. 243, in der zweiten auf die Schraubenflache