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VI. Raumcurven und abwickelbare Flachen. sehen (K). (10,5x6,5 cm.) Zusammen Mk. 20.50. 152—157. (XXVIII, 1—6.) Sechs Modelle zur Theorie der cubischen Raumcurve und ihrer Anwendung in der physiologischen Optik. (K., Sg.) Mit einer Abhandlung. Von Dr. W . Ludwig, Breslau. Die cubische Raumcurve kann definiert werden als der Ort der Schnittpunkte je dreier entsprechender Ebenen aus drei projectiven Ebenenbiischeln oder als der Ort der Punkte, in deren jedem sich zwei entsprechende Strahlen aus zwei kollinearen Biindeln begegnen, oder endlich als Grundcurve eines besonderen Biindels (Netzes) von Flachen 2. Grades. Aus jedem ihrer Punkte wird sie durch einen Kegel 2. Grades projiciert, aus ihren drei unendlich fernen Punkten also durch drei Cylinder 2. Grades; dabei treten vier gestaltlich ganz verschiedene Typen der Curve auf, die auf Celluloidcylindern in Metallrahmen dargestellt sind. 152. (XXVIII, 1.) Die cubische Ellipse mit nur einem reellen unendlich fernen Punkte und einer reellen Asymptote; mit dieser zusammen liegt sie auf einem elliptisehen Cylinder. ( 1 2 x 1 4 x 4 0 cm.) Mk. 25.—.

Tangente und die Schmiegungsebene. Dabei kann es sich ereignen, dass von den 8 Elementen eines oder zwei oder alle drei stationar werden. Den 8 verschiedenen Fallen, die hierbei eintreten konnen, entsprechen 8 Typen eines Elements einer Eaumcurve mit im Allgemeinen singularem Verhalten. Vergl. Ausfiihrung zu Serie X I im I. Teil. Zusammen Mk. 60.—. 142—150.(XXXIV,1—9.)DieSingularitaten von Raumcurven, unter Leitung von Prof. H. G. Zeuthen von Frl. Helga Lund in Kopenhagen. Die Modelle stellen in einer neuen Art die acht verschiedenen Singularitaten der Raumcurven (die eine in zwei verschiedenen Fallen) mit ihren Tangenten und abwickelbaren Flachen dar. Wahrend bisher derartige Curven durch gebogene Drahte, vermittelst Seidell faden oder auf Korpern veranschaulicht wurden, bilden hier die Schnitte von Kartonblattern die Raumcurven, und Gerade, die auf Blattern eingeritzt sind, die Tangenten. Den Modellen wird eine Erlauterung beigegeben, die iiber die verschiedenen bemerkenswerten Verhaltnisse der einzelnen Falle, auch iiber die Form von Nachbarschnitten und iiber die Lage der Raumwinkel, in die die Kurven sich fortsetzen, Aufschluss gibt. (ca. 16x21 cm.) . . Zusammen Mk. 40.—. 151. (VI, 6 a, b, c, d.) Die Raumcurven 3. Ord. auf Cylindern 2. Ord. Je nachdem die unendlich feme Ebene einer solchen Curve in einem reellen, oder in 3 reellen, oder in einem reellen und 2 zusammenfallenden (Beriihrung), oder endlich in 3 zusammenfallenden (Osculation) Punkten getroffen wird, unterscheidet m a n 4 verschiedene Typen, welche cubische Ellipse, Hyperbel, cubisch-hyperbolische Parabel und cubische Parabel genannt werden, und die auf elliptisehen, hyperbolischen (Hyperbel und cubisch-hyperbolische Parabel) und parabolischen Cylindern liegen. Vergl. S a l m o n Fiedler, Geom. des Raumes, II. Teil, pag. 88 ff. (2. Aufl.) Von stud. math. Lange modelliert und mit einer Erlauterung ver-

153. (XXVIII, 2.) Die cubische Hyperbel mit drei getrennten reellen unendlich fernen Punkten und drei reellen Asymptoten; sie liegt mit jeder der letzteren zusammen auf einem hyperbolischen Cylinder, in dessen Asymptotenebenen sich jedesmal ihre beiden anderen Asymptoten befinden; die Curve ist auf dem einen dieser drei Cylinder dargestellt. ( 1 9 x 2 8 x 4 0 cm.) . . Mk. 4 0 . —