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Nr. 9. Bewegl. Stabmodelle z. Uberfuhrung einer Flache 2. O. in konfokale Flachen. 89 iiber diese Flachenschar haben Darboux1) und Mannheim2) aufgestellt, insbesondere zeichnet sich des letzteren Arbeit durch geometrische Beweisfiihrung u n d Reichhaltigkeit aus. Spater hat Fr. S c h u r 3 ) auf das Auftreten solcher Hyperboloide in zwei affin aufeinander abgebildeten R a u m e n hingewiesen. W i e namlich eine einfache Oberlegung zeigt, wird durch irgend eine im Modell dargestellte Flache u n d durch eine in beliebiger Lage befindliche zweite solche Flache eine affine Abbildung des R a u m e s der ersten auf den R a u m der zweiten festgelegt; u n d sind umgekehrt zwei beliebige affine R a u m e gegeben, so ist das Auftreten solcher Hyperboloide nur an eine Bedingung der Reellitat geknupft. Die Hyperboloide sind dabei in beiden R a u m e n solche, deren Erzeugende in der affinen Abbildung kongruente Geraden zu Bildern haben. Neuerdings hat L. B u r m e s t e r die Eigenschaften dieser M o delle einer eingehenden Untersuchung unterzogen und in eine allgemeine Theorie affiner raumlicher Systeme eingeordnet4); auch hat er die von A. Brill aus Kartonkreisen hergestellten Modelle Ve$£d|J}ch der Flachen zweiter O r d n u n g mit jenen in Verbindung gebracht. Nr. 425 bis 430. Ein einfacher geometrischer Beweis fur die Satze v o n H e n rici u n d G r e e n h i l l wird durch Verkniipfung der Betrachtungen von M a n n h e i m (a. a. O. S. 189) mit denen von S c h u r (a. a. O. S. 63) erhalten, doch soil hier nicht naher darauf eingegangen werden. Von den Abarten des einschaligen Hyperboloids i t das M d i Nr. 424. s oei hyperbolische Paraboloid schon fruher erwahnt. Die Obertragbarkeit des HENRicischen Satzes6) auf dieses i t durch die Bes wegungsfahigkeit des BRiLLSchen Kartonmodells dargetan. (Man vergleiche die vorige Abhandlung). l) Cours de mecanique par M. Despeyrous avec des notes par M. G. Darboux (1886) Note XVIII. 2 Mannheim: Principes e developpements de geom£trie cinematique, Paris ) t 1894 S. 189 ff. 3) S c h u r , Fr. „Die Deformation einer geradlinigen Flache zweiten Grades ohne Anderung der Langen ihrer Geraden". Zeitschr. fur Math. u. Phys., S. 62 (1898). *) L. B u r m e s t e r : „Kinematisch-geometrische Theorie der Bewegung der affin-veranderlichen, ahnlich - veranderlichen und starren raumlichen oder ebenen Systeme". Zeitschr. fur Math. u. Phys. XLVII S. 128 ff. (1902). 5) Einen einfachen analytischen Beweis des Greenhill schen Satzes fur das hyperbolische Paraboloid gibt Fr. S c h u r a. a. O. S. 64. Zum geometrischen Beweis bediirfen fur diese Flache die M a n n h e i m schen Betrachtungen einer nicht schwer anzugebenden Abanderung. 6*