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Nr. 7. Uber Flachen 2. Ordnung.

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Ebene ist seine Beriihrebene und sie bestimmt (vergl. Seite 75 oben) ein Parallelepiped, das wir „ein der FlcLche konjugiert amschriebenes Parallelepiped" nennen; seine drei Mittellinien, d. h. die drei Linien, die die Mitten je zweier Gegenseiten verbinden, bestimmen schon das Parallelepiped und damit auch das Polarsystem des Asymptotenkegels; m a n hat dann nur zu bezeichnen, welche von den durch je zwei Gegenkanten des Parallelepipeds gelegten Ebenen als reelle Beruhrebenen des A s y m p totenkegels anzusehen sind, und welche als ideelle. Dies bestimmt sich daraus, dafi der Punkt nur dann an einer Durchmesserebene in der konjugierten Richtung in die Mitte einer benachbarten Parallelepipedseite gespiegelt wird, w e n n die in der Ebene der beiden zugehorigen Mittellinien bestehende Involution elliptisch ist. Im anderen Falle konnen wir aber die Mitte der benachbarten Parallelepipedseite einen ideellen Punkt und diese selbst seine ideelle Beriihrebene nennen. — So k o m m e n wir zu einer B e s t i m m u n g der Flachen 2. O., die der im I. Abschnitt abgeleiteten ganz entsprechend ist und sich mit ihr vollig deckt, falls wir das Polardreikant als aus drei zu einander senkrechten Kanten gebildet a n n e h m e n ; denn dann gehen die soeben verwendeten reellen oder ideellen Punkte und Beruhrebenen in die (im Endlichen gelegenen) Scheitel und Scheitel-Beruhrebenen der Flachen uber. E s braucht k a u m erwahnt zu werden, da8 alle hier abgeleiteten Konstruktionen durch raumlich - kollineare Abbildung ein erweitertes Anwendungsgebiet finden. Fur die Paraboloide bediirfen die Beziehungen zwischen Durchmesserebenen und konjugierten Richtungen einer besonderen Ableitung. AnmerkungV. Im vorigen wurde das Polarsystem der Kegel 2. O. aus einem beliebig gegebenen vollstandigen Vierkant (Vierstrahl) mittels Konstruktion harmonischer Stiicke abgeleitet und der Satz ohne Beweis mitgeteilt, dafi man auf unendlich viele Arten von dem gegebenen auf andre Vierkante iibergehen kann, die dann nach derselben Konstruktion dasselbe Polarsystem liefern. Nun lassen sich die vier Kanten des Vierkants stets in die vier Diagonalen eines Wurfels affin abbilden. Hierzu schneide man sie durch eine geeignet (S. 75) gelegte Ebene so, dafi die vier Schnittpunkte die Ecken eines Parallelogramms werden, hierauf bilde m a n das Vierkant durch raumliche Affinitat so ab, dafi das Parallelogramm zum Quadrat wird, und endlich bilde man das neue Vierkant durch eine neue Affinitat so ab, dafi der Scheitel des Vierkants der Mittelpunkt 0 eines

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