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Nr. 7. Uber Flachen 2. Ordnung.

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geraden als Achsen bezeichnet seien, ist auf die soeben angegebene Weise je eine Involution bestimmt, namlich in S durch die beiden Achsen und ihre Winkelhalbierenden, also durch zwei harmonische Paare, und in jeder der beiden anderen Ebenen durch die Winkelhalbierenden der Achsen als Doppelstrahlen der Involution. Aus der „Grundeigenschaft des Polarsystems" gewinnt m a n dann genau wie friiher die Zuordnung beliebiger Durchmesser und Durchmesserebenen mittels dieser drei Involutionen. Wiederum i t es das vollstandige Vierkant eines regelmafiigen s Vierstrahles, das die bestimmenden Stiicke in sich enthalt. Aber diesmal sind zwei Paare von Gegenseiten des Vierkantes Ordnungsebenen und sie beriihren den Ordnungskegel in vier von den Strahlen des Sechsstrahls, in dem die Ebenen der Achsen von den sechs Seiten des vollstandigen Vierkants getroffen werden.1) Unterwirft m a n nun die ganze Figur einer affinen Abbildung, so tibertragen sich alle Konstruktionen auch auf das Bild, da sie ganz auf die Konstruktion harmonischer Strahlen zuriickgefiihrt worden sind. Dabei geht aber der besondere Drehkegel (von der Offnung eines Rechten) in einen beliebigen Kegel liber. Wir nehmen vorerst die affine Abbildung so an, dafi die Bilder der Achsen zu einander senkrecht, also die Achsen des Bildkegels sind. Wir wollen nun die Figur des vollstandigen Vierkants, das wieder drei Spiegelebenen besitzt, mit denjenigen Figuren in Beziehung setzen, die wir im ersten Abschnitt dieser Abhandlung untersucht haben. Schneiden wir das vollstandige Vierkant mit irgend einer Ebene, die zu der Bildebene von S parallel ist, so erhalten wir ein vollstandiges Rechteck; von diesem beriihren vier Seiten (namlich die eigentlichen Rechteckseiten) die Schnittellipse des Kegels mit unserer Ebene in ihren Scheiteln, wahrend die beiden letzten Seiten (die Diagonalen des Rechtecks im gewohnlichen Sinne) diejenigen sind, die wir friiher als ideelle Scheiteltangenten bezeichnet haben. Daher miissen wir von dem dreifach symmetrischen vollstandigen Vierkant sagen, dafi zweimal zwei seiner Gegenseiten reelle, die zwei letzten Gegenseiten aber ideelle Beriihrebenen des Kegels oder Ordnungsebenen des Polarsystems seien. a) In den Figuren 3 und 4, die den allgemeineren Fall darstellen, in denen namlich an Stelle des der Kugel umschriebenen Wurfels ein rechtwinkliges Parallelepiped tritt, ist der Sechsstrahl durch Pfeile und die 4 Ordnungsebenen durch ihre Erweiterungen iiber das Parallelepiped hinaus angedeutet.