Repository: UIHistories Project: Mathematical Models (1907 - German) [PAGE 77]

EXTRACTED TEXT FROM PAGE:

Nr. 7. Uber Flachen 2. Ordnung.

75

und Durchmesserebenen der Kugel in das Durchmesser-Polarsystem des Ellipsoids. Vier Strahlen aber, die als Diagonalen eines Parallelepipeds aufzufassen sind, haben im Biindel keine besondere Lage mehr, vielmehr kann jeder Vierstrahl dafiir gewahlt werden, von dem keine drei Strahlen in einer Ebene liegen. Es folgt dies daraus, dafi wenn m a n den Vierstrahl als vollstandiges Vierkant ansieht, jede parallel zu einer Nebenseite gelegte Ebene die vier Strahlen in den Ecken eines Parallelogramms schneidet, wahrend die am Scheitel des Bfindels gespiegelte Ebene vier weitere Punkte ausschneidet, die jene zu den Ecken eines Parallelepipedes erganzen. Ein beliebiges nicht ebenes Vierkant kann daher stets als affines Bild des durch die vier Diagonalen eines Wurfels gegebenen Vierkants angesehen werden und bildet somit fur das Durchmesser-Polarsystem des Ellipsoids ein „Polvierkant" von der oben bezeichneten besonderen Art, und wir haben den Satz: D a s Durchmesser-Polarsystem eines Ellipsoids ist durch ein beliebig gegebenes Vierkant bestimmt, wenn dieses in dem Polarsystem als ein solches Polvierkant angesehen wird, dem als Nebendreikant ein Poldreikant zugehdrt. Die Konstruktion konjugierter Durchmesser und Durchmesserebenen wird (wie beim Senkrechtstehen, S. 73) so ausgefiihrt, dafi m a n in zwei Seiten dieses Poldreikants (nach Bedarf zur Probe auch in der dritten) zweimal einen vierten harmonischen Strahl bestimmt. U m zu dem Durchmesser-Polarsystem der Hyperboloide zu D r h e s r ucmsekommen, gehen wir wieder von dem der Kugel aus und wenden P l J y s e oaertm darauf dasselbe Verfahren an, das von der Rechtwinkel-Involution H p r 0 0 d * yebl1e zur Gleichwinkel-Involution, und allgemeiner von der elliptischen zur hyperbolischen Involution fiihrte. Hierzu greifen wir unter den Durchmesserebenen der Kugel irgend eine, sie heifie S, als feste Spiegelebene heraus und ordnen im Durchmesserbiindel einem jeden Strahle p diejenige Ebene Q zu, die m a n erhalt, indem m a n zum Strahle p die senkrechte Ebene P sucht und diese an der festen Ebene S senkrecht spiegelt. D a zwei auf einander senkrechte Stiicke p und P durch senkrechte Spiegelung in wiederum senkrechte Stiicke q und Q iibergehen, so kann m a n noch auf anderem W e g e v o m Strahle p zur Ebene Q gelangen, indem m a n namlich p an S nach q spiegelt und zu diesem Strahle die senkrechte Ebene sucht. Dann fuhrt auch jeder dieser beiden W e g e dazu, umgekehrt zu jeder Ebene Q diejenige Gerade p zu bestimmen, der sie zugeordnet ist.