Repository: UIHistories Project: Mathematical Models (1907 - German) [PAGE 76]

EXTRACTED TEXT FROM PAGE:

74

H. Wiener.

Die auf zweimaligem Aufsuchen eines vierten harmonischen Strahls beruhende Konstruktion lehrt die geringste Anzahl von Linien kennen, durch die im Strahlenbiindel das Senkrechtstehen bestimmt wird. Vorhin waren zweierlei Linien notig, namlich die drei Verbindungsgeraden der Mitten der Gegenseiten des Wiirfels (die Achsen) und die seeks Verbindungsgeraden der Mitten der Gegenkanten, und es i t zweckmafiig, diesen noch die vier Verbindungss geraden der Gegenecken hinzuzufiigen. Von diesen bilden die seeks den regelmafiigen Sechsstrahl, der gleichzeitig ein „geschlossenes Spiegelsystem" darstellt (Modell Nr. 115), und sie werden von den drei Achsen zu einem geschlossenen Spiegelsystem von neun Strahlen erganzt, die vier Geraden aber bilden einen regelmafiigen Vierstrahl im Bundel. Durch diese vier lassen sich nun die vorigen leicht bestimmen. Fafit m a n namlich die vier Geraden als Kanten eines „vollstandigen Vierkantes" auf, so schneiden sich von seinen sechs Seiten je zwei gegenuberliegende in einer Achse (als Nebenkante) und die durch die Achsen gelegten Ebenen (die Nebenseiten) schneiden aus den sechs Seiten jenen Sechsstrahl aus. Dies liefert den folgenden Satz, der als die Erweiterung des STEiNERschen Satzes auf den R a u m anzusehen ist: lm Strahlenbiindel lafit sich aus einem (nicht ebenen) regelmcifiigen Vierstrahl (S. 16, 2) durch alleinige Anwendung der Konstruktion harmonischer Strahlen das System senkrechter Stilcke finden. Je zwei Gegenebenen unseres vollstandigen Vierkantes sind auf einander senkrecht, also zur Kugel konjugiert; nun nennt m a n bei der Kugel (und entsprechend auch bei beliebigen Polarsystemen im Bundel) ein .Vierkant, bei dem dies eintrifft, ein „Polvierkanta. Wahrend aber im allgemeinen ein Polvierkant schon dadurch entsteht, dafi m a n ein beliebiges Dreikant wahlt, durch jede Kante eine zur Gegenseite senkrechte Ebene legt und diejenige Gerade, die diese drei Ebenen, wie bekannt, gemeinsam haben, als vierte Kante jenen dreien hinzufiigt, so hat das hier vorliegende Polvierkant noch die besondere Eigenschaft, dafi sein Nebendreikant aus drei Ebenen besteht, von denen je zwei auf einander senkrecht stehen, d. h. die ein „Poldreikantu bilden. Drhesr ucmseDenken wir uns nun den R a u m einer affinen Abbildung unterdes°EiupSs. worfen, so verwandelt sich dabei die Kugel mit dem umschriebenen Wurfel in ein Ellipsoid mit einem konjugiert umschriebenen Parallelepiped, ferner jede Wiirfeldiagonale in eine Diagonale des Parallelepipeds und endlich das System senkrechter Durchmesser