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Nr. 7. Uber Flachen 2. Ordmmg.

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Zu derselben Konstruktion k o m m t man, wenn man die zwischen drei Durchmessern imd ihren konjugierten Richtungen bestehende Beziehung (S. 69) auf die Parabel anwendet, und es ergibt sich aus dieser Uebereinstimmung audi f i die Parabel die Moglichkeit, den Urpunkt der ir Spiegelung durch irgend einen seiner Bildpunkte zu ersetzen. Es sollen n u n fiir die Mittelpunktsflachen 2. O . die Polar- Durchmessersysteme im Durchmesserbundel abgeleitet werden. der MittelDie Zuordnung der Strahlen des Bilndels auf ihre senkrechten punktsflachenC £i fi 1r -r £i p j-i + ^ Ebenen erfiillt die „Grundeigenschaft des Polarsystems" (vgl. S. 66) stehen im und diese Zuordnung liefert das Durchmesser-Polarsystem fiir die u m den Scheitel des Biindels als Mittelpunkt gelegten Kugeln. Geht m a n von einem Wiirfel aus, der einer solchen Kugel u m schrieben ist, so liefert jene Grundeigenschaft fiir unsere nur des Ziehens von Parallelen bediirfenden Konstruktionen senkrechter Stiicke die Erweiterung auf den R a u m . U m namlich zu irgend einem gegebenen Durchmesser die senkrechte Ebene zu suchen, lege m a n durch ihn und je eine Achse des Wiirfels eine E b e n e und konstruiere zu dieser den senkrechten Strahl, indem m a n die Ebene mit der zur jeweils gewahlten Achse senkrechten Mittelebene schneidet, und zur Schnittgeraden in der Mittelebene entweder nach der STEiNERschen Konstruktion oder mittelst zweimaliger Konstruktion eines vierten harmonischen Strahles die Senkrechte sucht. Zur STEiNERschen Konstruktion benutzt m a n das Quadrat, in d e m die Mittelebene den Wiirfel schneidet, zur anderen die Mittellinien und Diagonalen dieses Quadrates. So erhalt m a n in jeder der drei Mittelebenen einen Strahl und von diesen drei Strahlen dienen zwei zur Bestimmung der gesuchten senkrechten Ebene, die dritte zur Probe. Ist die Ebene gegeben, so erhalt m a n den dazu senkrechten Strahl, indem m a n die einzelnen Schritte der vorigen Konstruktion in umgekehrter Reihenfolge ausfiihrt. A n m e r k u n g IV. Die S T E I N E R s c h e Konstruktion (S. 70) und ihre Ubertragung auf die Ellipse (die Mittelpunktsflachen 2. O.) ist ihrer Fassung nach weniger einfach, wie die andre Losung der Aufgabe, die auf zweimaliger Konstruktion harmonischer Strahlen beruht (S. 63). Ist aber ein der Kurve (Flache) konjugiert umschriebenes Parallelogramm (Parallelepiped) gegeben, und wird zur Konstruktion der Punkte der Kurve (Flache) das „Schnittverfahren" auf die Bertihrpunkte zweier Gegenseiten des Parallelogramms (Parallelepipeds) angewandt, so erspart m a n beim iibertragenen S T E i N E R s c h e n Verfahren einige Linien gegentiber der andern Konstruktion. Es kann hier jedoch nicht naher auf diese Vereinfachungen eingegangen werden.