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Nr. 7. Uber Flachen 2. Ordnung.

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z u d e m sind zur Bestimmung der iibrigen konjugierten Durchmesser zwei Paare in Sonderlage a n g e n o m m e n . Wir stellen jetzt die Aufgabe so, dafi ihre Losung auch auf die Parabel A n w e n d u n g findet: Es ist aus zwei beliebigen, mit ihren konjugierten Richtungen gegebenen Durchmessern zu jedem dritten die konjugierte Richtung zu finden (oder umgekehrt zu jeder dritten Richtung der konjugierte Durchmesser). Die Losung dieser Aufgabe leitet sich aus der „Spiegeleigenschaft" der Kegelschnitte ab. Ist namlich ein beliebiges, d e m Kegelschnitt eingeschriebenes Dreieck gegeben, so sind die Durchmesser, die nach den Seitenmitten dieses Dreiecks gezogen sind, den betreffenden Seiten konjugiert. D a s aus diesen Mitten gebildete Dreieck ist aber den drei Durchmessern eingeschrieben und hat mit d e m vorigen parallele Seiten. Der hierin liegende Satz1) ist umkehrbar und fiihrt zu folgender Beziehung, in der die Losung unserer Aufgabe enthalten ist: Satz u n d Konstruktion II der Involution [aus 2 beliebigen Konstruktion I I PaarenJ. Sollen drei Richtangen za drei gegebenen Darchmessern d n o t t o . " fviuinn eines Kegelschnitts konjagiert sein, so lass en sich diesen stets Dreiecke einschreiben, bei denen die Richtang jeder Seite demjenigen Darchmesser konjagiert ist, der darch die gegeniiberliegende Ecke hindarchgeht. V o n einem solchen Dreieck lafit sich ein Eckpankt (aaf einem der gegebenen Darchmesser) oder eine Seite (in einer der gegebenen Richtangen) beliebig annehmen. Z a r Losang der Aafgabe, za einem dritten gegebenen Darchmesser die konjagierte Richtang (oder za einer dritten gegebenen Richtang den konjagierten Darchmesser) za sachen, n e h m e m a n die Ecke aaf d e m dritten gegebenen Darchmesser (oder die Seite in der dritten gegebenen Richtang) an and ergdnze das Dreieck nach d e m Satze. A n m e r k u n g III. U m die grundsatzliche Stellung der in diesem Abschnitte vorgetragenen Theorie der Kurven und Flachen 2. O. zu bezeichnen, sei betont, dafi in ihr nirgends der Grundsatz der projeMiven Geometrie beniitzt su werden braucht (d. h. der Satz, dafi jeder Punkt einer Geraden in einer Projektivitat sich selbst entspricht, wenn dies fur 3 Punkte zutrifft). Vielmehr ist diese Theorie, weil sie vom Kreise und dem Gebiet der Parallelprojektion ausgeht, durchaus elementarer Natur, l) v. Staudts bekannte projektive Verallgemeinerung dieses Satzes (wonach die Gegenseiten eines vollstandigen Vierecks auf einer Geraden drei Paare einer Involution ausschneiden) l f t nicht so deutlich die Beziehung zu den ai Spiegelungen erkennen.