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Nr. 7. Uber Flachen 2. Ordnung.

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Die Betrachtungen lassen sich unmittelbar auf Flachen 2. O . Flachen 2. O. mit Mittelpunkt iibertragen. Bei ihnen tritt aufier den durch je mlt Mlttelp" zwei der Achsen gelegten „ Hauptebenen" als vierte noch die unendlich feme Ebene auf; diese Ebenen bilden das „Haupttetraeder". Die Kanten dieses Tetraeders treffen die Flache in sechs Paaren von Scheiteln, die gleichzeitig Scheitel fur die „Hauptschnitte" sind, d. h. fur die Kegelschnitte, in denen die Flache v o n den Hauptebenen getroffen w e r d e n , so dafi jeder Scheitel in zwei Hauptebenen liegt. D a die Scheitelberiihrebene auf jeder endlichen Hauptebene, in der der Scheitel liegt, senkreeht steht (wegen der Symmetrie der Flache zu diesen Hauptebenen), so kann m a n die Eigenschaften des frtiher betrachteten Rechtecks auf ein rechtwinkeliges Parallelepiped iibertragen und erhalt die folgende B e s t i m m u n g der verschiedenen Arten von Mittelpunktsflachen: M a n wahle drei aufeinander senkrechte Strecken, v o n denen jede die beiden anderen in der Mitte t i f , als Achsen einer Flache rft 2. O. und bezeichne die Flache: I als reelles Ellipsoid, wenn alle drei Achsen als reell ge. n o m m e n werden ; II. als zweischaliges Hyperboloid, wenn zwei Achsen als ideell, eine als reell genommen werden; III. als einschaliges Hyperboloid, wenn zwei Achsen als reell, eine als ideell genommen werden; IV. als imagindres Ellipsoid, wenn alle drei Achsen als ideell genommen werden. Die Endpunkte jeder Achse sind die endlichen Scheitel und zwar reelle oder ideelle, je nachdem die Achsen reell oder ideell sind. Die in den (reellen oder ideellen) Scheiteln senkreeht auf die Achse errichteten Ebenen sind (reelle oder ideelle) Scheitelberilhrebenen und sie bilden ein rechtwinkeliges Parallelepiped, dessen drei Paare von Diagonalebenen die Beriihrebenen der unendlich fernen Scheitel sind, wahrend jeder dieser Scheitel selbst dadurch bestimmt ist, dafi er in der auf seiner Beruhrebene senkrechten Hauptebene liegt. Und in dieser Ebene wird auf die oben angegebene Weise erkannt, ob er reell oder ideell zu nehmen ist; reell namlich dann, wenn in dieser Hauptebene eine reelle und eine ideelle Achse liegt, in jedem andern Falle ideell. Daraus folgt, dass nur in den Fallen II. und I I reelle unendlich feme I. Scheitelpaare vorkommen, und zwar in beiden Fallen zwei solche Paare; sie liegen in den beiden Hauptebenen, die im Falle I . I