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H. WIENER.

schnitten aufgefafit werden. N i m m t m a n namlich beide als reell oder beide als ideell, so erhalt m a n eine reelle oder eine imaginitre Ellipse, n i m m t m a n &ber die eine als reell, die andre als ideell, so erhalt m a n eine Hyperbel. In alien drei Fallen sind die Seiten und Diagonalen des Rechtecks, das die beiden gegebenen Strecken zu seinen Mittellinien hat, die sechs Scheiteltangenten des Kegelschnitts; und zwar sind die Diagonalen (als Scheiteltangenten fur die unendlich fernen Punkte) nur d a n n als reell anzusehen, w e n n die eine Achse reell, die andere ideell ist, in jedem anderen Falle aber als ideell; und da die Endpunkte einer Achse reelle oder ideelle Scheitel sind, je n a c h d e m es die Achse ist, so folgt: N a c h der Anzahl der reellen Scheitel gibt es zweierlei Mittelpunkts-Kegelschnitte, namlich reelle (reelle Ellipse u n d Hyperbel) mit zwei reellen Scheitelpaaren a n d imaginare (imaginare Ellipse) mit keinem reellen Scheitel. Durch ein Rechteck sind auf die angegebene Weise vier Kegelschnitte bestimmt (zwei Hyperbeln, da jede von den beiden Achsen als die reelle g e n o m m e n werden kann) und je zwei von diesen vier Kurven heifien einander harmonisch zugeordnet. A n m e r k u n g . Es sei hier noch auf einige weitere Beziehungen zwischen diesen Figuren bei Ellipse und Hyperbel aufmerksam gemacht, die, wie es scheint, trotz ihrer Einfachheit bisher nicht beachtet worden sind. Bei Ellipse und Hyperbel schneiden die ideellen Scheiteltangenten (d. h. die Diagonalen des Vierecks der reellen Scheiteltangenten) die Kurve in reellen Punktepaaren, den „Diagonalpunkten". Der gegenseitige Abstand der Punkte eines solchen Paares hat zur Lange der Diagonale bei der Ellipse das Verhaltnis i: |/2 , bei der Hyperbel das umgekehrte Verhaltnis. Die Tangente eines Diagonalpunktes geht nach einem ideellen Scheitel und sein Kriimmungsmittelpunkt wird auf seiner Normalen so gefunden, dafi m a n diese mit dem Trager des ideellen Scheitelpaares, sowie mit den Tragern der beiden reellen Scheitelpaare schneidet und von dem ersten Schnittpunkt zu den beiden anderen den 4. harmonischen sucht; also bei der Ellipse das Stuck der Normale zwischen den Achsen halbiert, bei der Hyperbel das Stuck zwischen der ideellen und reellen Achse iiber die letztere hinaus weitertragt. Diese Elemente, zusammen mit den Krummungskreisen der Scheitel bilden die beste Unterlage fur das genaue Verzeichnen der Ellipse1) wie der Hyperbel. l) Man vergl. Chr. Wiener, Verhandlungen des naturwissenschaftlichen Vereins zu Karlsruhe, Bd. XI „Uber die Schonheit der Linien", Anhang, 1890 (1891).