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Nr. 5. Die regelmaftigen Vielflache, abgeleitet aus Hirer Gruppe.

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so lassen sich auch zwei verschiedene Vielkante, die an B anliegen, in einander uberfiihren. Dies liefert tins die Dritte Definition. Ein Vielflach nennen wir in einer Grappe hi. Definition. regelmafiig, w e n n alle Seiten ein in der Grappe regelmafiiges System bilden, and w e n n jede Seite aas einem Vieleck besteht, das in einer der Grappe angehOrigen zyklischen Untergrappe, aber in keiner Doppelpyramiden- Untergrappe regelmafiig 1st. V o n d e m regelmafiigen Vieleck, das die Seite bildet, diirfeu wir a n n e h m e n , dafi es nicht zerfallt, da wir von zerfallenden Vielecken doch jeden Teil an andre solche Teile zur Bildung des Vielflachs zusammenschliefien miissen. Die Erweiterung der dritten Definition auf hohere Dimensionen bietet keine Schwierigkeit; so wird m a n ein Vielzell in einer G r u p p e von Drehungen des vierdimensionalen R a u m e s als regelmafiig bezeichnen, w e n n seine Zellen ein in dieser G r u p p e regelmafiiges System bilden, und w e n n jede Zelle ein nicht entartetes, in einer Untergruppe dieser G r u p p e regelmafiiges Vielflach ist. N a c h d e m es sich als notwendig herausgestellt hat, das „in einer G r u p p e regelmafiige System" einzufiihren, dtirfte die dritte Definition den besten Anschlufi an den landlaufigen Begriff der regelmafiigen Vielflache darbieten. Ziemlich zu Anfang meiner Beschaftigung mit diesen Fragen war ich versucht, diese Definition an die Spitze zu stellen und so alle Schwierigkeiten bei Seite zu schieben, die aus den zerfallenden Vielflachen der Ikosaedergruppe entspringen. D a n n aber schien mir das A b w a g e n der mannigfachen Moglichkeiten eine bessere Einsicht zu gewahren, als eine ohne Begrtindung willkurlich hingestellte Definition. Dafi das Streben nach Vereinfachung der eingefuhrten Voraussetzungen mich schliefilich zu der anfangs bevorzugten Begriffsbildung zuruckleitete, dtirfte fur die Zweckmafiigkeit sowohl des eingeschlagenen W e g e s , wie auch der bevorzugten Definition sprechen. A n m e r k u n g III. Die in diesem Abschnitt angedeutetenErweiterungen des Begriffs des regelmafiigen Vielflachs, in Verbindung mit den friiheren Betrachtungen iiber das begriffliche Vielflach und Vielzell, zeigen gleichzeitig die Moglichkeit, die Operationen abstrakter Gruppen so zu verkniipfen, dafi sie ein begriffliches Vielflach oder Vielzell u. s. f bilden, Als Grundstuck, . das dem „Eckpunkte" entspricht, fiihre m a n eine in der Gruppe enthaltene zyklische U n t e r g r u p p e ein, wie sie bei den regelmafiigen Vielflachen durch die Wiederholungen der eckenbildenden Drehungen entsteht Freilich gibt es z. B. beim Ikosaeder zwolf Eckpunkte und nur sechs solcher