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H. WIENER.

von selbst erfullt, wahrend der Ausschlufi entarteter Vielilache (Einschrankung II, S. 30) dadurch erreicht wird, dafi m a n fordert, die Seiten sollen Vielecke sein, die in einer zyklischen, aber nicht in einer Doppelpyramiden-Untergruppe der Gruppe des Vielflachs regelmafiig sind. W e n n man sich nun auf die beiden Forderungen beschr&nkt, dafi a) jede Seite in jede andere durch eine Drehung der Gruppe ubergefiihrt werden konne, und dafi b) jede Seite in einer zyklischen (aber nicht Doppelpyramiden-) Untergruppe regelmafiig sei, so-iafit sich hieraus beweisen, dafi jeder Eckpunkt des Vielflachs in jeden anderen Eckpunkt, und jede Xante auf zweierlei Weise in jede andre Kante iibergefuhrt werden kann, und dafi endlich auch jede Ecke, als Vielkant aufgefafit, in jede andre Ecke (ibergeht. Mit a) und b) sind daher alle Forderungen der zweiten Definition nebst den frttheren Einschrankungen und ebenso die Voraussetzung 2) S. 40 von selbst erfullt. Der Beweis fur diese Behauptungen soil nun erbracht werden. Es l f t sich die Seite A B C D , in eine andre Seite, in der ai eine beliebig gewahlte Ecke E liegt, durch eine Drehung $ der Gruppe iiberfuhren, und wenn dabei A etwa in die Ecke L dieser Seite kommt, so gibt es nach b) eine Drehung (£ der Gruppe, die diese Seite in sich und L nach E dreht, so dafi die Drehung $>(£ die Ecke A in die beliebig gewahlte Ecke E dreht. Ebenso ergibt sich die Oberftihrbarkeit der Kanten, und zwar kann jede Kante A B auf zwei verschiedene Arten in die Nachbarkante B C ubergefiihrt werden; denn aufier der Drehung g, die das Vieleck A B C . . in sich dreht, namlich in die Lage B C D . ., gibt . es eine Drehung ®, die A B C . . in die an B C anstofiende Seite C B H , und dabei (wie eben fur die Ecken A und E bewiesen) die Ecke B nach B selbst bringt; es kann aber A B C . . dem Sinne nach nicht in H B C . . tibergehen, weil dann das Dreieck O B C und damit das ganze Vielflach festbliebe (sodafi A B C nicht in die Nachbarseite (iberginge); also geschieht dies im Sinne C B H , und wir haben zwei verschiedene Drehungen $ und @, die A B in die Nachbarkante bringen, die eine im Sinne B C , die andre im Sinne CB. Hierdurch i t jetzt ohne BentUzung des Umlaufssinns der Flachen s das Vorhandensein der Kantenamwendung ^ ~ 1 @ aus den Voraussetzungen a) und b) nachgewiesen. D a endlich jede an B anliegende Seite in jede andre solche Seite unter Festhaltung des Eckpunktes B gedreht werden kann,