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Nr. 5. Die regelmafiigen Vielflache, abgeleitet aus ihrer Gruppe.

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bilden eine Gruppe, die m a n als „Doppelpyramidengruppeal) bezeichnet, und die alle Drehungen enthalt, die das Vieleck in der angegebenen Weise in sich iiberfiihren. D e n n aus der Oberftihrung einer Kante in die Nachbarkante ergibt sich durch Folgebildung die Uberfuhrung in eine beliebige Kante. 2) Soil es eine Gruppe geben, die das Vieleck in sich liber ftthrt, aber die Kante A B in die Nachbarkante nur im Sinne BCy so ftihrt die Drehung 2>, die dies vollbringt, die Kante B C in C D tiber u.s.f., und die Gruppe besteht aus den Drehungen 2>, 3)2, ..1, d. h. sie ist eine t,zyklische Gruppe". D a s Vieleck ist wieder ein ebenes und unterscheidet sich der Gestalt nach nicht v o m vorigen. Das Ergebnis fassen wir so z u s a m m e n : Satz III. Ein Vieleck kann nur regelm&fiig sein entweder in einer Doppelpyramidengruppe, oder in einer zyklischen Gruppe, w o bei die letztere ebensoviele Drehungen enthcilt, als das Vieleck Eckpunkte besitzt, die erstere doppelt so viel. Beidemal ist das Vieleck eben und deckt sich seiner Gestalt nach mit demjenigen, das m a n gewohnlich als ein regeU majiiges Vieleck bezeichnet. In jeder der beiden Gruppen sind auch zerfallende regelmafiige Vielecke moglich, auf die hier nicht eingegangen zu werden braucht Schlagt m a n beim Aufbau des regelmafiigen Vielflachs den dualen W e g ein, so hat m a n von einer aus Ebenen (Seiten) und Kanten gebildeten Kette, demVielkant, auszugehen, und m a n erhalt dann Vielkante, die in einer zyklischen oder einer Doppelpyramidengruppe regelmafiig sind. Die aus der letzteren Gruppe hervorgehenden Vielkante haben nun entweder ihren Scheitel im Drehpunkt O oder sie sind Prismen. (Im besonderen Falle des „entarteten Vielkants" gehoren sie einem Ebenenbiischel an.) Beide konnen nicht verwendet werden, da sie entartete Vielflache liefern. Aber dasselbe gilt von den durch eine Doppelpyramidengruppe erzeugten Vielecken, da ihre Ebene, wie wir vorhin bewiesen haben, durch den Drehpunkt O hindurchgeht. Fugen wir nun der Voraussetzung 2) die Bedingung hirizu, in e n r unterie dafi durch Drehungen der Gruppe, die eine Seite in sich iiber- 8 i T e k 8 l 1 veeceas' fiihren, auch jede Kante dieser Seite in jede andere Kante tiberzufuhren ist, so wird die Seite zu einem Vieleck, das in einer Untergruppe der Gruppe des Vielflachs regelmafiig ist. Die frtiher eingefiihrte Forderung der Ebenheit (Einschrankung I, S. 30) ist dann J) Die „Doppelpyramidengruppe", sowie die „zyklische Gruppe" werden im zweiten Teil dieser Arbeit ausfuhrlicher besprochen.