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H. Wiener.

Diese Drehung i t daher eine Achsenspiegelung £ und eine ebens soche t ftihrt das Dreieck B C D in D C B iiber. Durch t geht die Spiegelung £ in eine neue Spiegelung der Gruppe iiber, deren Achse den Punkt D enthalt u. s. f M a n erh< also in der Gruppe . ein geschlossenes Spiegelsystem, und wegen der endlichen Anzahl der Spiegelungen schneiden sich die Spiegelachsen von £ und t in einem Punkte O, durch den alle diese Spiegelachsen hindurchgehen. Sie bilden daher einen regelmafiigen ebenen Vielstrahl O A , O B , O C , . . und die Spiegelungen selbst ein geschlossenes Spiegelsystem, das wir als ein „zyklisches geschlossenes Spiegelsystem'1 bezeichnen wollen. Auch das Vieleck selbst i t ein ebenes, da jede s Ecke auf einer der Spiegelachsen liegt. Ober die Anzahl der Eckpunkte wurde bisher keine Voraussetzung gemacht; es f l t z. B., wenn sie gleich 3 ist, D mit A al zusammen, obne dafi sich im Beweise etwas andert Fallt aber schon C mit A zusammen, so bestimmen A B C nicht mehr eine Ebene und der Beweis wird hinfallig. Das Vieleck i t dann ein s Zweieck, oder es zerfallt in eine Anzahl von Zweiecken, deren Gesamtheit in der Gruppe regelmafiig sein soil. Ein solches Vieleck bezeichnen wir als entartet und schliefien es von der Betrachtung aus. Zufolge der Bedingung b) mufi die Ecke A durch eine Drehung der Gruppe in die Ecke B ubergehen, also A B entweder in B A oder in B C . Geht A B in B A iiber, so geschieht dies (weil zwei Punkte vertauscht werden) durch eine Spiegelung t, die auch das Vieleck (oder was auf dasselbe hinauskommt, das geschlossene Spiegelsystem in sich iiberfuhrt, deren Achse also durch O geht; da aber A B nicht durch O gehen darf, weil dies ein entartetes Vieleck bedingte, so liegt die Spiegelachse von t in der Ebene des Vielecks. Die Folge r£ — 3) i t dann eine Drehung u m O, s die A B nach B C bringt. — Setzt m a n umgekehrt das Vorhandensein einer Drehung voraus, die das Vieleck in sich, und A B in B C iiberfiihrt, so wird die Drehung $'$ eine Spiegelung r, die A B in B A iiberfuhrt. I t die Anzahl der Eckpunkte des Vielecks ungerade, so i t s s die Spiegelung r schon unter denen enthalten, die zu Achsen die Geraden O A , O B , . . besitzen, i t diese Anzahl aber gerade, so ents halt jede Spiegelachse zwei Eckpunkte; in beiden Fallen hat man daher ein zyklisches geschlossenes Spiegelsystem, das ebensoviele Spiegelungen enthalt, als das Vieleck Eckpunkte besitzt. Diese Spiegelungen t, #, . . . zusammen mit den Drehungen $, $2, . . 1 ,