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H. Wiener.

Wir sehen also jetzt von der Bedingung, dafi die Seiten der regelmdfiigen Vielflache ebene Vielecke seien, ab, und damit fallt auch die Moglichkeit weg, einer Seite auf der frtiheren Grundlage einen bestimmten „Umlaufsinn" zu erteilen1). Dafiir fiihren wir die beiden folgenden nenen Voraussetzangen ein: Anderung 1) E s soil moglich sein, an jeder Ecke eines regelmdfiigen setzungen. Vielflachs (mit ebenen oder windschiefen Seiten) jede Seite darch eine Drehung der Gruppe in jede andere an der Ecke liegende Seite iiberzafiihren. 2) Ebenso soil jede Seite durch eine Drehung der Gruppe so in sich gedreht werden konnen, dafi jede Ecke der Seite in jede andre Ecke der Seite iibergeht Aus diesen neuen Bedingungen soil jetzt fiir die aus einer Gruppe von Drehungen abgeleiteten regelmafiigen Vielflache das Vorhandensein von Kantenumwendungen von neuem bewiesen werden. Sind A B und B C benachbarte Kanten, die der Seite A B C D . . angehoren, so gibt es nach 1) eine Drehung © , die den gemeinsamen Eckpunkt B beider Kanten fest lafit, und die Seite A B C D . . in die zweite an B C anstofiende Seite B C H . .tiberfiihrt,und zwar geht hierbei die Kante A B d e m Sinne nach in C B iiber, da B nach Voraussetzung festbleibt. Ebenso gibt es eine Drehung gf, die die Seite A B C D . . in sich und die Kante A B in die Kante B C tiberfiihrt, und dies kann entweder (a) gleichfalls im Sinne C B oder ( ? im Sinne B C geschehen. /) Geschieht es (a) im Sinne C B , so ist die Drehung gf mit @ identisch, da beide das Dreieck O A B nach O C B bringen; (£ ist daher eine Drehung, die von der Seite A B C D . . eine Ecke B fest lafit und die Seite in sich dreht. Die an B anstofienden Kanten vertauschen sich also, d. h. das Dreieck A B C geht in C B A iiber, @ ist also die Spiegelung an der Geraden O B . Geht von einem Eckpunkte B eine solche Spiegelachse nach O, so gilt dies wegen 2) fiir jeden Eckpunkt, z. B. fiir C. Daraus folgt, dafi nicht nur die Seite B C , sondern auch die folgende Seite C D des Vielecks in der Ebene C M 5 liegt, u. s. f , dafi also das Vieleck in einer . durch O gehenden Ebene liegt; aufierdem ist es (im gewohnlichen Sinne) regelmafiig, weil alle Eckpunkte auf einer Kugel mit d e m Mittelpunkte O liegen. Damit haben wir den Hilfssatz gewonnen: 0 Es kSnnte dies aber auf Grund des M 6 BI u s schen „Kantengesetzes" geschehen (vergl. S. 33).