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Nr. 5 Die regelmalMgen V e f a h , a g l i e aus i r r Gruppe. . illce beett he

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IV. Tragweite der verschiedenen Voraussetzungen. Definition des regelmafiigen Vielflachs.

Dritte

Es hat sich bei der Definition des regelmafiigen Vielflachs als F i e m e i ogngt vviinschenswert herausgestellt, der Forderung der Uberfiihrbarkeit h. D f n t o . eiiin einer „Ecke" in eine beliebige zweite die Deutung zu geben, dafi nicht nur der gegebene Eckpunkt dttrch eine Drehung in jeden anderen gebracht werden konne, sondern auch jedes an dem Eckpunkte liegende Vielkant in jedes andere (zweite Definition des regelmafiigen Vielflachs, S. 32). Setzen wir dies voraus, so geht beim Vorhandensein einer eckenbildenden Drehung jedes der an einem Eckpunkte liegenden Vielkante durch eine Drehung der Gruppe in jedes andere an dem Eckpunkt liegende iiber, und wenn eine Kante dem Sinne nach in den Eckpunkt hineingerichtet ist, so gilt dasselbe fur jede Kante. Dadurch i t der „zweiteFall" (S. 35) s ausgeschlossen, in dem bei Vorhandensein von eckenbildenden Drehungen die Kanten an einem Eckpunkt zur Halfte in den Eckpunkt hinein, zur Halfte aus ihm herausgerichtet sind. Es gilt also der Satz I. Nach der zwelten Definition (S. 32) sind in jedem aas einer Gruppe von Drehungen abgeleiteten regelmafiigen Vielflach Kantenumwendungen und somit ecken- and seitenbildende Drehungen gleichzeitig vorhanden. N u n l f t sich in Folge der Annahme einer eckenbildenden ai Drehung an einem beliebigen Eckpunkte B jede Seite in jede anderetiberfuhren,die demselben Vielkant angehort, und wegen der Uberfiihrbarkeit der Vielkante auch in jede andre Seite, die am Eckpunkte B liegt. Dann l f t sich aber auch jede Seite A B C D . . so in sich ai selbsttiberfuhren,dafi eine Ecke B der Seite in irgend eine andre (etwa C) tibergeht. Denn dreht m a n B nach C , das derselben Seite als Nachbarecke von B angehort, so geht die Seite im allgemeinen in eine andere an C liegendetiber,und diese l f t sich ai bei festem C, wie vorhin gezeigt, in jede andre an C liegende, also auch in A B C D . . drehen. Hier hat m a n zwei Folgerungen aus der Uberfiihrbarkeit der Vielkante gewonnen, die nun als selbstandige Forderungen an die Stelle dieser Voraussetzung der Uberfiihrbarkeit gesetzt werden durfen. Geschieht dies, so kann m a n dafiir auf andere Voraussetzungen, z. B. die der Ebenheit der Seiten verzichten.