Repository: UIHistories Project: Mathematical Models (1907 - German) [PAGE 40]

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H. Wiener.

Betrachten wir nun die Kanten, die in einer Selte ein Vieleck, etwa A B C D . . bilden, so konnen zwei aufeinanderfolgende A B , und E C nicht denselben Sinn haben, weil es sonst eine Drehung gabe, die das Vieleck in sich iiberfiihrte, indem es eine Kante in die Nachbarkante brachte, was beim ersten Unterfall ausgeschlossen ist. Es mussen daher, wenn m a n das Vieleck umlauft, die beiden Kanten, die in einer Ecke zusammenstofien, dem festgelegten Sinne nach abwechselnd in diese Ecke hinein und aus ihr herausgerichtet sein. Dies i t aber beim Umlaufen des Vielecks nur dann widers spruchslos moglich, wenn es eine gerade Anzahl von Ecken und Seiten hat. Satz VI. Bel jedem Vielflach des ersten Unterfalles ist jede Selte eln Vieleck von gerader Seltenzahl. 2 utrai . nefi. Auf den zweiten Unterfall iibertragen sich diese Betrachtungen dual, seine Vielflache haben an jeder Ecke Vielkante von gerader Seitenzahl. Bipe. esii Vergegenwartigen wir uns diese Satze an der Gesamtheit der f i f Wiirfel, die dem Dodekaeder eingeschrieben sind. In jeder in Ecke des Dodekaeders liegen die Ecken von zweiWfirfeln vereinigt. Sie bilden an der Ecke zwei Dreikante mit rechtwinkeligen Seiten, derart, dafi nach Festlegung des Sinnes auf einer der 60 Kanten in dem einen Dreikant die Kanten in die Ecke hineingerichtet sind, bei dem anderen aus ihr heraus. Ist A B C D eines der Quadrate, die die Seiten der Wiirfel und gleichzeitig des regelmafiigen Vielflachs ausmachen, so hangen den vier in dem Quadrat liegenden Kanten vier weitere Quadrate an, Wird A B in eine Nachbarkante, etwa in B C ubergefiihrt, so geschieht dies im Sinne C 5 , das Quadrat A B C D geht in das an B C angehangte Quadrat tiber; wird hierauf C B in C D iibergefiihrt, so schlagt das Quadrat wieder in das erste zurtick, namlich in die Lage C D A B u.'s. w. Es geht also das Vieleck A B C D durch die Folge zweier eckenbildenden Drehungen in sich selbst liber, diese Folge i t s aber keine seitenbildende Drehung, weil dabei die Kante A B nicht in die Nachbarkante, sondern in die Gegenkante C D iibergeht. Die Wiederholung dieser Drehung fiihrt C D wieder in A B zurttck, woraus folgt, dafi die Drehung involutorisch ist; sie i t aber keine s Kantenumwendung fur unser Vielflach, sondern fur das Dodekaeder, dem dieses eingeschrieben i t Die Drehungen urn einen s. Rechten, die ein Quadrat so in sich iiberfuhren, dafi die Kanten in die Nachbarkanten iibergehen, sind nicht in der Gruppe enthalten, ebensowenig die Kantenumwendungen der Wiirfel.