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Nr. 5. Die regelmaiMgen V e f a h , a g l i e aus i r r Gruppe. illce beett he

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Gibt es also zwei der genannten Drehungen, so hat m a n den ersten Fall, und da dies auch umgekehrt gilt, so folgt hieraus der Satz. Daraus, dafi bei den Vielflachen des zweiten Falles eine z e t r Fan. wie Kante nur durch eine einzige Drehung der Gruppe in eine andere iibergefiihrt werden kann, folgt dann: wenn man irgend einer Kante einen bestimmten Sinn beilegt, etwa der Kante A B den von A nach B gerichteten, so iibertragt sich dieser eindeutig auf alle iibrigen Kanten. Jedenfalls iibertragt sich der Sinn von A B durch alle Drehungen der Gruppe auf alle fibrigen Kanten, z. B. durch %x und %% auf AtB± und A2B2; f i r man aber die Kante AtBt iht in A2B2 iiber, so geschieht dies nur durch eine einzige Drehung, namlich die Folge S^-1®,,, also erhalt A2B2 von AtBt aus denselben Sinn, wie von A B aus. Untersuchen wir nun den ersten Unterfall — das einzige Bei- 1. u t r a i nefi. spiel, das uns die Gruppen der regelmafiigen Vielflache darbieten werden, i t die Gesamtheit der f i f dem Dodekaeder eingeschries tn benen Wtirfel — so geht die Kante A B durch die beim ersten Unterfall vorhandene eckenbildende Drehung, etwa mit festem Eckpunkt B , in die Nachbarkante C B , diese in ihre Nachbarkante H B iiber u.s.f. Der Sinn dieser Kanten i t dann wie bei A B in s den Eckpunkt B hineingerichtet. Da sich jeder Eckpunkt in jeden anderen iiberfiihren lafit, so besitzt jeder Eckpunkt ein Vielkant (oder mehrere), wie A B , C B , H B , dessen Kanten in den Eckpunkt hineingerichtet sind. Betrachtet man nun eine Seite des Vielflachs, z. B. das Vieleck A B C D . ., so i t die Kante C B am s EckpunktC aus der Ecke herausgerichtet (ebenso A B an derEckeA). Es kann also die Kante C B unmoglich zu den Kanten des Vielkants mit dem Eckpunkt C gehoren, das aus dem vorigen Vielkant durch eine Drehung der Gruppe hervorgeht. Daraus folgt: Satz V. Bei den Vielflachen des ersten Unterfalles (d. h. solchen, die eckenbildende und keine seitenbildende Drehungen besitzen) verteilen sich die an einem Eckpunkte liegenden Kanten und Seiten auf zweierlei Vielkante (von denen jedes wieder in Teilvielkante zerfalien kann) derart, dafi sich in jedem der beiden Vielkante jede seiner Kanten (Seiten) in jede andre seiner Kanten (Seiten) iiberfiihren lafit, dafi es dagegen keine Drehung der Gruppe gibt, die das eine Vielkant in das andere iiberfiihrt. *) l) Mit Hiife der fruher aufgestellten geometrischen Satze lafit sich beweisen, dafi beide Vielkante einander kongruent sind.