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H. W I E N E R .

einanderschreiben der die einzelnen Drehungen bezeichnenden Buchstaben ausgedriickt, ferner die Umkehrung einer Drehung 3f durch S"1; dementsprechend setzt m a n die Drehung, die jeden Punkt an der Stelle laftt (Deckung, Identitat), == 1, und man kann eine solche identische Drehung jeder anderen vorn oder hinten anfugen, ohne sie zu verandern. Eine involutorische Drehung (Spiegelung) 8 hat dann die Eigenschaft, daft gg = &2 = 1 gesetzt werden kann. Es folgt dann aus 3f = « 8 rein formal und ebenso Erster Faii. Wenn sich eine von zwei Drehungen (allgemeiner gesagt, Verwandtschaften), wie @ und g, aus der anderen ergibt, indem m a n die Folge aus dieser andern u n d einer involutorischen D r e h u n g (Spiegelung) bildet, so ergibt sich in gleicher Weise die zweite aus der ersten, und es heifien beide zu einander „harmonischal). M a n erhalt also den Satz H I . Bei einem regelmdfligen Vielflach des geht jede Kante in eine Nachbarkante darch zwei Drehungen ilber, von denen die eine ((£) die Ecke, Kanten zusammenstofien, die andere ($) die Seite, Kanten liegen, in sich dreht. Ein wichtiges Unterscheidungsmerkmal beider sich durch den ersten Falles harmonische in der beide in der beide Falle ergibt

Satz IV. I m ersten Falle gibt es zwei, im zweiten Falle nur eine einzige D r e h u n g der Gruppe, die eine gegebene Kante in eine beliebige andere ilberfilhren. Die gegebene Kante sei B0C0, sie wird nach b) der D e finition S. 28 sicher durch eine D r e h u n g (£ in die beliebige Kante B C iibergefuhrt, und zwar geschehe dies so, dafi d e m Sinne nach B0C0 in B C iibergeht. Soil es moglich sein, durch eine zweite D r e h u n g •$ die erste Kante in die zweite uberzufuhren, so kann dies nur in umgekehrtem Sinne geschehen, so dafi B0C0 nach C B k o m m t , denn es gibt nur eine einzige Drehung, die das Dreieck O B 0 C 0 in O B C tiberfuhrt. D a n n vertauscht aber die D r e h u n g d;-1® die beiden Ecken B und C, ist also eine K a n t e n u m w e n d u n g . mit Verwandtschaften, und VII: DasRechnen mit involutorischen Verwandtschaften. Ferner Th. Reye: »Ober symbolisches Rechnen mit geometrischen Verwandtschaften" . Math. Ann. 43 (1893), S. 145ff. a) Vergl. die Fufinote S. 21.