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Nr. 5. Die regelmaftigen Vielflache, abgeleitet aus ihrer Gruppe.

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sie es, sobald m a n die durch symmetrische Abbildungen „erweiterte Gruppe" zu Grunde legt. Sollen also unsere Betrachtungen allgemein gelten, so dtirfen wir nicht das gleichzeitige Bestehen beider Drehungen als notwendig voraussetzen. Wir untersuchen zuerst den Fall, in d e m das regelmafiige KantenVielflach beiderlei Drehungen aufweist; es gehe also eine Kante umwendimse" A B in die Nachbarkante durch eine eckenbildende Drehung <S im Sinne C B iiber und durch eine seitenbildende Drehung § im Sinne B C . Fuhrt m a n dann die letztere Drehung ruckwarts aus, fjf--1, und hierauf die erstere Drehung @, so geht durch die Folge 8 = Qf-1 & dieser beiden Drehungen die Kante B C in C B iiber. Eine Drehung aber, die zwei Punkte miteinander vertauscht, ist stets involutorisch1) (eine Achsenspiegelung oder U m w e n d u n g ) und wir nennen diese hier eine „Kanteniimwendung"; eine solche ist dann (infolge der Oberfuhrbarkeit) auch ftir jede andre Kante vorhanden. Besteht umgekehrt aufler der einensichervorhandenen (eckenoder seitenbildenden) Drehung auch eine K a n t e n u m w e n d u n g , so ist auch die andere der beiden vorhanden. D e n n es folgt aus @ und 8 eine Drehung $ = <$$, die die Kante A B in B C iiberfuhrt, also eine seitenbildende Drehung (nach S. 33), und ebenso folgt aus ff und £ die eckenbildende Drehung $ £ — ©. Ist also nur eine j der beiden (ecken- oder seitenbildenden) Drehungen vorhanden, so kann es keine K a n t e n u m w e n d u n g geben, und gibt es keine K a n t e n u m w e n d u n g , so kann nur eine der beiden Drehungen vorhanden sein. Dies liefert den Satz IL Bei den regelmajiigen Vielflachen sind z w e i Fcille Zwei Fa le i. denkbar: Vielflache mit K a n t e n u m w e n d u n g e n („erster Fall") und solche ohne K a n t e n u m w e n d u n g e n (,tzweiter Fall(<). D e r erste Fall umfafit alle Vielflache, die gleichzeitig Zwei U i r a l . nefle beiderlei Drehungen, namlich eckenbildende und seitenbildende besitzen, der zweite Fall solche mit nur einerlei Drehungen. D e r zweite Fall liefert daher z w e i Unierfalle, von denen der erste die Vielflache mit eckenbildenden und ohne seitenbildende Drehungen, der zweite die mit seitenbildenden und ohne eckenbildende Drehungen umfafit. Anmerkung. Es ist vorhin, wie iiblich2), die Folge zweier Drehungen (allgemeiner gesagt: Abbildungen, Verwandtschaften) durch Nebenv) Vergl. meine Abhandlung „Zur Theorie der Umwendungen", Ber. der rnath.-ph. CI. der Kgl. Sachs. Ges. d. W . 1890, S. 73. 2) Man vergl. meine Abhandlung „Ober geometrische Analysen". Ber. der math.-ph. CI. der Kgl. Sachs. Ges. d. W., 1890, S.245ff, Abschnitt VI: Das Rechnen

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