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r . Wiener. i

Satz I. Jede in der Gruppe enthaltene Drehung, die eine Kante in eine Nachbarkante iiberfiihrt, dreht entweder die Ecke, an der beide Kctnten zusammenstofien, oder die Seite, in der beide liegen, in sich selbst. Nach der Gruppeneigenschaft b) S. 28 gibt es an jeder Ecke diese Drehungen, falls sie an einer Ecke vorkommen, und in jeder Seite, falls sie in einer Seite vorkommen. Wir nennen diese beiden Arten die eckenbildenden bezw. seitenbildenden Drehungen der Gruppe. 1 t namlich © die Drehung, die die Kante A B in die s Nachbarkante C B ttberfuhrte, so fuhrt @ , wie vorhin bewiesen wurde, die Seite A B C . . in die Nachbarseite C B H . . und damit , die Kante C B in die Nachbarkante M B uber. Aus demselben Grunde fuhrt @ wiederum M B in ihre Nachbarkante, und die Seite C B H . . in ihre Nachbarseite uber. Nun geht aber A B durch die Wiederholung von ®, die wir mit ®2 bezeichnen, in H B liber, durch (F in die dieser benachbarte Kante, u. s. f Die Drehungen . ©, (B\ @3.. bilden aber notwendig eine Untergruppe der gegebenen Gruppe von Drehungen, und zwar eine zyklische Untergruppe, so dafi irgend eine Wiederholung (etwa die * - e A B in sich zurtick>t) fuhrt, so da8 also ®7/= 1 wird. Wahrend also alle Drehungen der zyklischen Gruppe @, ©2, . . ( F 1 , 1 die Ecke B in sich drehen, i t die Drehung @, sowie ihre U m s kehrung (S7-1 dadurch ausgezeichnet, dafi sie die Kette von Nachbarkanten und Nachbarseiten erzeugt, aus der das Vielkant an der Ecke B besteht. Und wenn an der Ecke B mehrere solcher Vielkante zusammenstofien, so mufi wegen ihrer Kongruenz jedes in derselben Weise durch die Drehung (£ (sowie durch (&?-1) erzeugt werden. Ganz in derselben Weise zeigt man, dafi audi jede seitenbildende Drehung der Gruppe das Vieleck, aus dem die Seite besteht, erzeugt. A n m e r k u n g . Es i t keineswegs gesagt, dafi eckenbildende und s seitenbildende Drehungen an einem regelmafiigen Vielflach gleichzeitig vorkommen miissen, wenn dies audi bei den gewohnlich betrachteten geschieht. Das Vielflach, das aus denfiinfeinem Dodekaeder eingeschriebenen Wiirfeln besteht, besitzt nur eckenbildende Drehungen, das dazu duale (das aus f i f Oktaedern besteht) nur seitenbildende, wahrend ein anderes der in Ikosaedergruppe angehoriges zerfallendes Vielflach, das aus zehn Tetraedern besteht, wieder beiderlei Drehungen besitzt. Wenn auch diese Vielflache nach der zweiten Definition (S. 32) nicht a s regelmafiig gelten, so werden l