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Nr. 5. Die regelmafMgen Vielflache, abgeleitet aus ihrer Gruppe.

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Vieleck, v o m Drehpunkt O aus gesehen (der nach der Einschrankung II. aufierhalb des Vielecks liegt) im Uhrzeigersinn durchlaufen efscheine. D a sich der Sinn nicht andert, w e n n das Vieleck durch eine Drehung u m O in ein anderes iibergefiihrt wird, so erhalten dann alle Seiten des Vielflachs, von O aus gesehen, gleichfalls den Uhrzeigersinn. Sind die beiden Seiten aufierdem benachbart, so erhalt die Kante, in der beide zusammenstofien, verschiedenen Sinn, je nachdem sie beim Umlaufen des einen oder des andern Vielecks durchwandert wird; denn da die Eckpunkte der beiden kongruenten regelmaBigen Vielecke auf einer Kugel liegen, so erscheinen diese v o m Drehpunkt O aus nebeneinander, also wird bei gleichem Umlaufsinn der Vielecke die gemeinsame Kante entgegengesetzt durchlaufen. Der aus alien so zusammenstofienden Vielecken gebildete Teil des regelmaBigen Vielflachs (der auch das ganze Vielflach sein kann) erfiillt somit das „Gesetz der Kanten", durch das sich nach M o b i u s die zweiseitigen von den „einseitigen Polyedern" unterscheiden1). Es soil jetzt untersucht werden, welcher Art die Drehungen z e e i i wire sind, die eine Kante A B in eine Nachbarkante B C tiberftihren, r u R f e ne d. h. in eine solche, die mit ihr einen Eckpunkt B gemein hat, und in derselben Seite, namlich d e m Vieleck A B C D . . enthalten ist. Nach Voraussetzung b/9) lafit sich die erste durch eine Drehung der Gruppe in die zweite Kante iiberfiihren; dabei kann A B d e m Sinne nach entweder in B C oder in C B ubergehen. N u n stofien an B C zwei und nur zwei Seiten zusammen, Hs und in jeder liegt an der Kante B C nur ein M Vieleck, namlich A B C D . . in der einen B: Seite und etwa H B C . . in der anderen; A B C mufi daher entweder in sich selbst, oder in das andere ubergehen, und was von beidem zutrifit, wird durch den Sinn centschieden. Geht namlich A B d e m Sinne -D nach in B C iiber, so geht das Vieleck in sich selbst, namlich die Ecken A, B, C in B, C , D uber; geht aber A B in B C iiber, so geht das Vieleck A B C in das Nachbarvieleck C B H iiber, in dieser Reihenfolge der Ecken. Wahrend sich also im ersten Falle das regelmafiige Vieleck in sich selbst dreht, geschieht dies im zweiten Falle mit der Ecke B. So ergibt sich der J) M6bius, Gesammelte Werke II, S. 477. 3