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H. WIENER.

Gktaeder, nur wenn es aus seinen Ebenen auf dem dualen W e g e erzeugt i t s. Daher stehen einander zweierlei Definitionen der regelmafiigen Vielflache als moglich gegenuber: i Dfnto. . eiiin Erste Definition: M a n fafit das Wort „Ecke" in der Definition S. 28 als gleichbedeutend mit „Eckpunkt" auf. D a n n mafi m a n der Erzeugung der regelmafiigen Vielflache aus den Punkten eine duale aus den Ebenen gegeniiberstellen, die in besonderen Fallen Vielflache liefert, die auf die erste Art nicht erzeugt werden konnen. I. D f n t o . I eiiin Zweite Definition: M a n fordert, dafi nicht nur jeder Eckpunkt durch eine Drehung der Gruppe in jeden anderen ubergefuhrt werden konne, sondern auch jedes an einem Eckpunkt gebildete Vielkant in jedes andere (Einschrankung IIL). M a n fafit also in der Definition (S. 28) das Wort „Ecke" als irgend eines der an einem Eckpunkt liegenden Vielkante auf. Hierin liegt, dafi m a n nicht mehr, wie im I Abschnitte den . Punkt (Eckpunkt) als ein zur Kante und Seite gleichwertiges Stuck anzusehen hat, sondern das in der Erzeugung ebenfalls auftretende Vielkant (die Ecke). U n d hierdurch erst erhalt das Vielflach lauter Stticke, die einander dual gegeniiberstehen: Die Seite der Ecke; die Kante, die zwei Ecken verkniipft, der Kante, die zwei Seiten verkniipft. Das aus f i f Wflrfeln und das aus fiinf Oktaedern bestehende in Vielflach, sowie das aus beiden abzuleitende, aus zehn Tetraedern bestehende, konnen dann nicht mehr als regelmafiig gelten. Selbstverstandlich hat m a n zwischen beiden Definitionen freie Wahl, und nur die Folgerungen, die aus beiden gezogen werden, entscheiden, ob m a n zweckmafiiger Weise die eine oder die andere bevorzugt. Fur die zweite Definition spricht vielleicht die Tatsache, dafi sie nur dann zerfallende Vielflache zulafit, wenn die Gruppe eine zusammengesetzte ist. O b dies aber ein allgemein giiltiger Satz ist, diirfte sich erst durch die Erweiterung der Betrachtungen auf allgemeinere Gruppen entscheiden lassen. (Man vergleiche hierzu die Anmerkung I I im IV. Abschnitt). I. HI. Uberfiihrung einer Kante in eine Nachbarkante. U m zu untersuchen, wie zwei Nachbarstiicke (Ecken, Kanten oder Seiten) durch Drehungen der Gruppe ineinander iibergefiihrt werden konnen, wahlen wir fur irgend eine Seite einen U m laufsinn, indem wir etwa festsetzen, dafi das die Seite bildende