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Nr. 5. Die regelmaCigen Vielflache, abgeleitet aus ihrer Gruppe.

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sichtlichsten durch ein geschlossenes Spiegelsystem darstellen, das entweder die in der Gruppe v o r k o m m e n d e n „erzeugenden Spiegelungen" ( U m w e n d u n g e n ) oder „Hilfsspiegelungen" enthalt, d. h. solche, aus denen sich die Drehungen der Gruppe zusammensetzen. Die Ableitang der Vielflache aus der Gruppe gelingt dann in einfachster Weise mittels des Satzes, dafi m a n irgend eine involutorische Drehung der Gruppe als K a n t e n u m w e n d u n g und eine beliebige nicht-involutorische Drehung, die jene involutorische nicht in sich iiberfuhrt, als benachbarte seitenbildende (oder als eckenbildende) Drehung wahlen kann, und dafi hierdurch das Vielflach seiner Gestalt nach eindeutig bestimmt ist (V. Abschnitt); die Dualitat ergibt sich, indem m a n die gewahlte Drehung das eine M a i zur Eckenbildung, das andere Mai zur Seitenbildung verwendet. In der Ikosaedergruppe erhalt dieser Satz noch eine vereinfachte Gestalt. Die Achsen der 15 in der Gruppe v o r k o m m e n d e n U m w e n d u n g e n zerfallen in 5 Achsenkreuze (vgl. S. 16), und zu irgend einem Achsenkreuz hat jede der 12 (ibrigen Achsen eine und dieselbe Lage; sie bildet namlich mit den 3 Achsen des Kreuzes J, | und | eines gestreckten Winkels. Die Folgen der Spiegelung an dieser vierten Achse und der Spiegelung an je einer Achse des Kreuzes bilden dann genau die drei in der Gruppe v o r k o m m e n d e n ir.cht gleichberechtigten (d. h. hier nicht kongruenten) *) und nicht involutorischen Drehungen. Setzt m a n aber die Spiegelung an der vierten Achse einmal mit der Spiegelung an einer Achse des Kreuzes und ein andermal mit der Spiegelung an einer zweiten Achse des Kreuzes z u s a m m e n , so ergeben sich zwei harmonische Drehungen, und von ihnen kann die eine als eckenbildend, die andere als seitenbildend gewahlt werden. S o erhalt m a n mit einem Schlag drei Paare von Vielflachen, von denen die beiden eines jeden Paares einander dual entsprechen2). U n d aus den drei soeben angeschriebenen Winkeln ergibt sich sofort die oben erwahnte Verteilung von regelmafiigen Dreiecken, gewohnlichen Ftinfecken und *) Kongruent sind zwei Drehungen, wenn sie durch irgend eine Drehung des starren Raumes in einander ubergefuhrt werden konnen, gleichberechtigt in einer Gruppe, wenn dies durch eine Drehung der Gruppe moglich ist. So i t in der Raumgeometrie eine Drehung mit ihrer Umkehrung stets kongruent, s aber ihr gleichberechtigt nur in solchen Gruppen, in denen Spiegelungen vorhanden sind, die die Drehung umkehren. Deshalb sind die nicht involutorischen Drehungen in der Tetraedergruppe ihren Umkehmngen nicht gleichberechtigt, in der Oktaeder- und Ikosaedergruppe gleichberechtigt. 2) Da die in diesem Absatz angefiihrten Satze sich weder bei F. Klein, noch bei O. Fischer a. a.O. vorfinden, nehme ich an, dafi sie neu sind.