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H. WIENER.

sind, und nur bei der „erweiterten Ikosaedergruppe" wieder hinzukommen. Dagegen bewirkt die Forderung der Ueberfuhrbarkeit der Vielkante, dafi zerfallende Vielflache nur bei zusammengesetzten Grappen sich einstellen, wahrend der Ikosaedergruppe, die einfach ist, nur nicht-zerfallende Vielflache eigentiimlich sind. Die wahrend der Untersuchung eingefiihrten Erweiterungen und Einschrankungen fugen sich schliefilich zu einer Definition z u s a m m e n , die der bisher gebrauchlichen moglichst nahe k o m m t . D a n a c h heifit ein Vielflach in einer Gruppe v o n Drehungen regelrnafiig, w e n n alle Seiten ein in der Gruppe regelmafiiges System bilden, u n d jede Seite a m einem in der Gruppe regelmafiigen Vieleck besteht, u n d der AusschluB der „entarteten Vielflache" bleibt als einzige Einschrankung iibrig. Die Ableitung der moglichen Vielflache aus den G r u p p e n setzt voraus, dafi m a n die moglichen Grappen unabhangig von den Vielflachen bestimmt. N u n haben Arbeiten von H . A. S c h w a r z 1 ) und F. Klein2) diese Aufgabe mit funktionentheoretischen Fragen in Verbindung gebracht, u n d dadurch wurde P. G o r d a n 3 ) veranlafit, die moglichen G r u p p e n abstrakt herzuleiten; v o n derselben Fragestellung ausgehend, hat dann C. J o r d a n 4 ) noch eine andre Ableitung gegeben. In der vorliegenden Abhandlung wird die Aufgabe geometrisch so weit gefiihrt, dafi der Anschlufi an die Arbeiten G o r d a n s u n d J o r d a n s ermoglicht wird. Geometrisch lafit sich jede der drei in Betracht k o m m e n d e n G r u p p e n (Tetraeder-, Oktaeder- u n d Ikosaedergruppe) a m iiberx) H. A. S c h w a r z kommt in einem grofieren die Theorie der hypergeometrischen Reihe behandelnden Aufsatze J. f M. 75 (1873) S. 321 u. ff. auf die . Aufgabe: „Alle spharischen Dreiecke zu finden, deren symmetrische und kongruente Wiederholungen auf der Kugeloberflache nur zu einer endlichen Anzahl von der Lage nach verschiedenen spharischen Dreiecken Anlafi geben" und stellt den Zusammenhang dieser Aufgabe mit der Frage nach den regelmafiigen Korpern fest; dabei bezieht er sich auf einen ohne Beweis von J. Steiner mitgeteilten Satz. Man vgl. J. Steiner, Ges. W . II, S. 90, 91 und S. 305, sowie die Mitteilung aus dem Nachlafi, Ges. W . I (1882) S. 735—738. I 2) F. Klein, Math. Ann. 9 (1876) S. 183. „Uber binare Formen mit linearen Transformationen in sich selbst." Hier wird auf das Ergebnis der in der vorigen Fufinote aufgefiihrten Arbeit Bezug genommen. 8) P. G o r d a n , Math. Ann. 12 (1877) S. 23. „Uber endliche Gruppen linearer Transformationen einer Veranderlichen." Hierher gehort auch die folgende Arbeit: L. F u c h s , J. f Math. 85 (1878) S. 1. . „ Uber die linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung, welche algebraische Integrate besitzen." Zweite Abhandlung. 4) C. J o r d a n , J. f Math. 84 (1878) S. 89. „Memoire sur les equations . differentielles lineaires a integrate aigebr,que" im I Kapitel. .