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Nr. 4, Regelmafiige Vielstrahlen u, geschlossene Spiegelsysteme.

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N r . 4,

R e g e l m a f i i g e Vielstrahlen u n d Spiegelsysteme.

geschlossene

Zur III. Reihe der Modelle. Nr. 115 und 116, Von H. Wiener in Darmstadt. Unter den regelmafiigen Gebilden sind die regelmafiigen Viel- ^Seff strahlen im Strahlenbltndel nur wenig beachtet worden, und doch sind sie in gewisser Hinsicht einfacher wie die regelmafiigen Vielflache, und da sie auf dieselben Gruppen iiihren, von derselben Bedeutung. Geht m a n von diesen als den bekannteren aus, so findet m a n regelmafiige Vielstrahlen, indem m a n in einer Seitenflache eines regelmafiigen Vielflachs irgend einen Punkt wahlt, nach ihm aus d e m Mittelpunkt des Vielflachs einen Strahl zieht und diesen Strahl alien Drehungen unterwirft, die das Vielflach in sich iiberfuhren. Der so gewonnene Vielstrahl enthalt im allgemeinen dieselbe Zahl von Strahlen, als die Gruppe Drehungen enthalt, und im besonderen verringert sich diese Zahl, w e n n der Strahl durch gewisse Drehungen der Gruppe in sich selbst libergeht, also w e n n er nach einer Kantenmitte, Ecke oder Seitenmitte gezogen ist. Die so entstandenen Gebilde ordnen sich d e m oben abgeleiteten Begriff des Regelmafiigen unter, und sie sind die einzig moglichen regelmafiigen Vielstrahlen im Biindel (abgesehen von den in einem ebenen Biischel enthaltenen), falls m a n zu ihrer Bestimmung die Gruppe der Drehungen urn einen festen Punkt zu Grunde legt. Auch die „erweiterte Gruppe", die m a n erhalt, w e n n m a n die Spiegelung a m Mittelpunkt hinzufugt und sie mit alien Drehungen der Gruppe zusammensetzt, liefert keine neuen regelmafiigen Vielstrahlen, da durch diese Punktspiegelung jeder Strahl in sich iibergeht. Die Oktaeder- und die Ikosaedergruppe ergeben so je 3 besondere regelmafiige Vielstrahlen, wahrend die Tetraedergruppe nur zwei solche liefert, die auch bei der Oktaedergruppe vorkommen.