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H. WIENER.

bezeichneten # - E c k s der B e d i n g u n g der Regelmafiigkeit genugen.1) Die Gruppen Z u r B e s t i m m u n g der regelmafiigen Vielflache k a n n m a n ebender regelfalls v o n ihren G r u p p e n a u s g e h e n , namlich den G r u p p e n v o n mafiigen Vielflache, D r e h u n g e n eines starren raumlichen S y s t e m s u m einen festen Punkt2). M a n hat d a n n ein regelmafiiges Vielflach als ein solches zu definieren, v o n d e m in dieser G r u p p e die E c k e n ein regelmafiiges Punktsystem, die K a n t e n u n d Seiten ein regelmafiiges S y s t e m v o n Strahlen u n d E b e n e n bilden. M a n erMlt hieraus sofort aufier d e n gewohnlichen ( P L A T O N i s c h e n ) n o c h die hoheren Vielflache, wie dies in der 5. A b h a n d l u n g ausgeftihrt w e r d e n soil. Meist geht m a n den u m g e k e h r t e n W e g u n d denkt sich die gewohnlichen ( P L A T O N i s c h e n ) regelmafiigen Vielflache auf irgend eine Art g e g e b e n , e n t n i m m t sie beispielsweise aus der elementaren Stereometrie u n d stellt d a n n M r jedes die G r u p p e aller D r e h u n g e n u m die Mitte des Vielflaches auf3). D a b e i ergibt sich bekanntlich das U b e r e i n s t i m m e n der G r u p p e des Wiirfels mit der des O k t a e d e r s , der G r u p p e des D o d e k a e d e r s mit der des Ikosaeders. U n d m a n erhalt so die Tetraedergruppe mit 12 kongruenten A b b i l d u n g e n , namlich aufier der Identitat oder D e c k u n g (Periode 1) 3 + 8 A b b i l d u n g e n v o n den Perioden 2 u n d 3 ; bei der O k t a e d e r g r u p p e ergeben sich 2 4 kongruente A b b i l d u n g e n , namlich 1 + 3 + 6 + 8 + 6 v o n d e n Perioden 1, 2, 2, 3, 4 u n d endlich bei der Ikosaedergruppe 6 0 kongruente Abbildungen, n a m lich 1 + 15 + 2 0 + 2 4 v o n d e n Perioden 1, 2, 3, 54). l) Von der SoHNCKEschen Definition geht auch E d m u n d H e s s in seinem Buche „Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung" (Leipzig 1883) aus. Seine Untersuchungen beziehen sich auf Gruppen von Drehungen und symmetrischen Abbildungen mit Festhaltung eines Punktes. 2) P. G o r d a n lost die Aufgabe „Alle endlichen Gruppen zu konstruieren, die sich aus linearen Transformationen einer Veranderlichen bilden lassen". Math. Ann. Bd. 17, S. 23 ff. Damit sind auch die oben erwahnten Gruppen von Drehungen unabhangig von geometrischen Betrachtungen bestimmt. 3) Auf eine Darstellung dieser Gruppen durch noch einfachere Gebilde, als es die regelmafiigen Korper sind, wird in Nr. 4 dieser Abhandlungen hingewiesen. 4) Die Beziehungen zwischen Gruppentheorie und regelmafiigen Vielflachen werden sehr eingehend behandelt in F. Kleins „Vorlesungen tiber das Ikosaeder..." (Leipzig 1884). Die gewohnlichen regelmafiigen Korper werden in diesem Buche als O r i e n t i e r u n g s m i t t e l zum Studium der zugehorigen Gruppen beigezogen. Dabei treten die oben entwickelten Begriffe als wesentlich auf. So wird dort aufier der Gruppe der Drehungen noch die „erweiterte Gruppe'' eingefuhrt, die durch Hinzufiigen von symmetrischen Abbildungen entsteht. Ferner wird das oben abgeleitete regelmafiige Punktsystem beniitzt, u m daraus „Fundamentalbereichea zu bilden. U m sich den in diesem Buche enthaltenen umfangreichen geometrischen Stoff anschaulich zu machen, diirften die Drahtmodelle der regelmafiigen Korper wegen ihrer Durchsichtigkeit besonders geeignet sein.