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Gelenksysteme.

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einen hinzugefugten Stab zum Erstarren gebracht werden kann, so ist es zwanglaufig. Auf den angefuhrten Satzen beruht nun die Beweglichkeit des Henricischen Hyperboloids mit EinschluB des DARBOUXschen Planigraphen sowie der anderen in dieser Reihe angefuhrten, von H. Wiener herruhrenden Gelenkflachen. Wahrend im (ibrigen auf eine spater erscheinende zugehorige ,,Abhandlung" verwiesen werden mag, sei im einzelnen nur noch folgendes angefiihrt. Betrachtet m a n an Henricis gelenkigem Hyperboloid zwei parallele Erzeugende/und u, so sollen fur einen Punkt U, in d e m u von einer Erzeugenden b der anderen Schar getroffen wird, die moglichen Bewegungen gegen f, untersucht werden. Unterwirft m a n das Hyperboloid unter Festhalten der Geraden/"irgend einer unendlich kleinen Veranderung, so erfahrt nach d e m oben Gesagten d,er Stab b im festen R a u m eine unendlich kleine Drehung u m eine Achse a, die derselben Schar wie f und b angehort und deshalb mit der Geraden u in einer Ebene liegt. A n dieser Bewegung nimmt der Punkt U, weil er auf b liegt, teil und beschreibt dabei ein Bahnelement, das auf der durch ihn selbst und die Drehachse a gelegten Ebene (ua), also auch auf der zu u parallelen Geraden f senkrecht steht. Damit ist gezeigt, was Darboux auf andere Art bewiesen hat, daB auf jeder Erzeugenden b derjenigen Schar; d e r / angehort, ein Punkt U liegt, der sich bei alien unendlich kleinen und dann auch bei alien endlichen gelenkigen Veranderungen des Hyperboloids, die f im R a u m festlassen, auf einer z u / senkrechten Ebene bewegt. Die ebene Fuhrung des Punktes U durch eine aus Geraden (und nicht aus Ebenen) zusammengesetzte Vorrichtung ist von theoretischem Wert. Praktisch laBt sich freilich eine ebene Fuhrung viel einfacher durch zwei mit Scharnier verbundene Ebenen herstellen. Folgerungen, die sich aus der Bewegung des Planigraphen auf die Veranderungen der HENRicischen Regelflachen beziehen lassen, seien hier ubergangen. Eine wichtige Anwendung der oben entwickelten Satze erhalt m a n in der CREMONAschen Regelflache 4. Ord., die durch Verbindung entsprechender Punkte zweier projektiv bezogener Kegelschnitte entsteht (vgl. Reye, Geometrie der Lage 2. Abt., 15. Vortrag). D a die beiden begrenzenden Kegelschnitte als starre Korper betrachtet werden, die durch die Erzeugenden der Flache gelenkig verbunden sind, so folgt die endliche Beweglichkeit der Modelle Nr. 417 und 418 sofort auB d e m von Clebsch aufgestellten Satz (Math. Annalen Bd. 2, S. 447), daB die G e r a d e n dieser Flache einem Strahlengewinde angehoren. Denn durch jede unendlich kleine gelenkige Veranderung des Modells geht die Flache in eine neue uber, die wiederum dieser Bedingung geniigt. Einer genaueren Untersuchung bedarf die Beweglichkeit der Modelle 419 und 420, bei den en noch eine Schar von Kegels chnitten in die Er4