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H. Wieners Sammlung. Gelenksysteme.

Gegenkanten sowie die Winkel je zweier in einem der ebenen Vierecke gegemiberliegender Kanten unendlich klein im allgemeinen von der I. Ord. werden laBt, so erhalt m a n als Entsprechendes zu d e m vorigen Vielflach eine von zwei Scharen von Linien uberzogene Flache, die stets in diesen Linien gebogen werden kann. Dabei sind die beiden Scharen (wegen der Ebenheit der Maschen) konjugiert und (wegen der Achsenspiegelung) geodatische Linien. Die nach der angegebenen Regel hergestellten Modelle veranschaulichen also im Endlichen die Biegung einer mit zwei Scharen v o n konjugierten geodatischen Linien behafteten Flache, und diese Linien bleiben auch fur endliche Biegungen zwei S y s t e m e eina n d e r zugeordneter Biegungslinien. Diese Flachen, die nach ihrem ersten Bearbeiter Vosssche F l a c h e n heifien, haben schon zu einer ganzen Reihe von Untersuchungen gefuhrt1), die sich zum Teil auch auf ihre Biegung beziehen, wahrend ihr Zusammenhang mit der Biegung endlicher Vielflache zum erstenmal von H. Wiener im Anschlufi an die hier ausgefuhrten Modelle gezeigt worden ist. Nr. 135 bis 137 wurden auf der Naturforscherversammlung in Kassel2) (1903) und auf d e m MathematikerkongreB in Heidelberg (1904) in einer Ausfuhrung aus Pappflachen mit Leinwandkanten vorgezeigt. Ein einfaches Beispiel der Vossschen Flachen bildet die Wendelflache, die in d e m Modell 140 durch ein ihr eingeschriebenes Vielflach ersetzt ist. Dieses besteht aus gleichschenkligen Vierecken (am Rand aus ihren Teiidreiecken), von denen die einen Diagonalen auf einer regelmaBigen Reihe von Erzeugenden der Wendelflache liegen, wahrend die anderen als Sehnen von Schraubenlinien angeordnet sind. Zur Konstruktion des Vielflachs ist von diesen Vierecken ein einziges, namlich ein Quadrat, mit der einen Diagonale in der Achse liegend, gewahlt; daraus bestimmt sich durch regelmafiige Wiederholung langs der Achse eine ganze Reihe solcher Quadrate und aus diesen konnen nach der obigen Regel die ubrigen Vierecke der angegebenen Art auf eine einzige Weise eingefiigt werden. D a s in seinen K a n t e n drehbare achsenspieglige Vierkant Nr. 135 a) und b), das die Beweglichkeit dieser Vielflache ermoglicht, hat auch noch eine andere wichtige Eigenschaft, die mit den Biegungseigenschaften stetiger Flachen zusammeiihangt. W e n n m a n namlich auf d e m einen Paar von Gegenkanten zwei Punkte festlegt, die gleichen Abstand vom Scheitel haben, und ebenso auf d e m zweiten Paar, so haben die beiden durch ein solches Punktepaar und den Scheitel gelegten Kreise bei den Veranderungen des Vierkants zwar veranderliche Radien, aber das Produkt der fur irgend ein Vierkant genommenen Radien ist dasselbe wie bei alien ubrigen, die aus ihm durch die gelenkige Veranderung entstehen. 1) Enz. d. math. W.'IIID. 5.39 und HID. 6.25. 2) Verhandlungen der Ges. D. Nat. u. A. 75. Vers, zu Kassel II, I. S. 29.