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H. Wieners Sammlung.

an eine parabolische Asymptote annahert, geben die in Fadenmodellen dargestellten abwickelbaren Tangentenfiachen AufschluB iiber die Lagen der Tangenten und Schmiegungsebenen (Gruppe B). AuBerdem ist es von Wert, die Kurve, die ja aus jedem ihrer Punkte durch einen Kegel zweiter Ordnung projiziert wird, als Schnitt wenigstens zweier solcher Kegel entstehen zu sehen (Gruppe C ) , und als solche sind jeweils die mit unendlich ferner Spitze, d. h. die projizierenden Zylinder gewahlt, denen im ersten und letzten Fall ein solcher mit im Endlichen gelegener Spitze hinzuzufugen war. Dienen diese 12 Modelle im wesentlichen der Darstellung der gestaltlichen Verhaltnisse, so fiihren die beiden letzten (Gruppe D ) in die T h e o r i e der R a u m k u r v e n 3. O r d n u n g ein. Hier ist die Kurve in der zuletzt er~ wahnten Art als Schnitt zweier Kegel erzeugt, die eine Gerade gemein haben, und dieser Erzeugung ist die andere dual gegeniibergestellt, namlich durch zwei Kegelschnitte (Drahtellipsen), die eine Tangente gemein haben, und deren gemeinsam beriihrende Ebenen die Raumkurve einhullen. In beiden Modellen ist die Tangentenflache und das durch die zwei Kegelspitzen bzw. die Ebenen der beiden Ellipsen bestimmte S c h m i e g u n g s tetraeder (aus Draht gefertigt) hinzugefugt, d. i. ein Tetraeder, von d e m zwei Kurvenpunkte mit ihren Tangenten und Schmiegungsebenen sechs Stiicke bilden, namlich zwei Ecken, zwei Kanten und zwei Seiten. Dadurch tritt die Lage jener beiden Kegel bzw. der beiden Ellipsen (die m a n auch als Oskulanten der Raumkurve bezeichnet) zu den beiden gewahlten Punkten, ihren Tangenten und Schmiegungsebenen deutlich hervor. Weiterhin bilden die beiden Tangenten ein Paar von Gegenkanten des Tetraeders; die Sehne, die die beiden Punkte verbindet, und die Achse, in der sich die beiden Schmiegungsebenen schneiden, bilden ein zweites Paar; die beiden letzten Kanten aber sind ein Spiegelachsenpaar der Raumkurve, d. h. die Achsen einer windschiefen Spiegelung (einer geschart-perspektiven involutorischen Kollineation), die die Raumkurve in sich iiberfiihrt. Solche Spiegelachsenpaare zeigen ein vollstandiges Entsprechen mit den als Pol und Polaren einander zugeordneten Elementen eines ebenen Kegelschnittes, mit denen sie auch die Mannigfaltigkeit (002) gemein haben. In den Gruppen A bis C sind fur die entsprechenden Modelle iibereinstimmende Kurven gewahlt, und zwar solche mit einer und im zweiten Fall sogar mit drei achsigen Symmetrien, so daB diese Kurve (die Hyperbel) durch sechs Drehungen einer Doppelpyramidengruppe in sich iibergeht. Die kubische Hyperbel laBt in diesem speziellen Fall eine besonders einfache Erzeugung zu, die zu einer elementaren Konstruktion auch der drei iibrigen Gestalten der Raumkurve 3. Ord. hinuberfiihrt. Bekanntlich hat J. Steiner von derjenigen ebenen Kurve 3. Ord., die als eine gespitzte Hypozykloide entstehen kann, eine groBe Anzahl wichtiger Eigenschaften zusammengestellt. Unsere kubische Hyperbel bildet nun in vielen Beziehungen ein raumliches Gegenstiick zu der STEiNERschen Kurve, wie m a n aus der folgenden Erzeugung dieser Kurve ersieht, die an eine Eigenschaft