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Flachen zweiter Ordnung.

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ahnlicher u n d ahnlich liegender F l a c h e n 2. O. behalt bei der Veranderung des Systems diese Eigenschaft, insbesondere geht ein Kegel mit der Gesamtheit aller Flachen, die ihn zum Asymptotenkegel haben, in ein ebensolches Flachensystem iiber. Diese Eigenschaft geben die drei vereinigten M o d e l l e wieder. Fur alle ahnliche und ahnlich liegende Flachen (bezw. fur solche mit gemeinsamem Asymptotenkegel) liegen die Mitten der Kreisschnitte in zwei Geraden, und diese treffen eine jede Flache in ihren „ K r e i s p u n k t e n " (Nabelpunkten). Diese sind beim Ellipsoid und beim zweischaligen Hyperboloid in der Zahl vier, beim Paraboloid in der Zahl zwei reell, beim einschaligen Hyperboloid aber imaginar, wahrend sie beim Kegel und Zylinder in den Doppelpunkt zusammenfallen. Das ganze raumliche System, das in der angegebenen Weise beweglich ist, und in ihm auch die dargestellten Flachen, lassen zwei Grenzlagen zu, in denen die Ebenen beider Scharen nach der einen oder anderen Seite hin in eine einzige Ebene zusammenklappen. Die Kreise sind so gewahlt, dafi dabei (abgesehen von der einen Grenzlage des elliptischen Paraboloids) stets zwei Kreise von beiderlei Scharen zur Deckung komraen. Die Flache 2. O. entartet dabei in einen reellen oder imaginaren G r e n z kegelschnitt, der von zwei ineinander geklappten Kreisen an den beiden Stellen bertihrt wird, an denen sie sich vorher kreuzten. Die Kreispunkte gelangen mit den B r e n n p u n k t e n des Grenzkegelschnittes zur Deckung. Aus d e m Ellipsoid (Nr. 425) entsteht so als Grenzflache beide Male der von den Kreisen doppelt iiberdeckte Innenraum einer Ellipse; beim K e g e l (Nr. 429) ist es das eine Mai ein durch ein reelles Geradenpaar begrenzter Winkel mit seinem Scheitelwinkel, das andere Mai iiberdecken die Kreise, zwei imaginare Geraden beriihrend, die ganze Ebene doppelt; bei den drei vereinigt beweglichen Flachen (Nr. 427, 428, 429) wird das Geradenpaar des zusammengeklappten Kegels zum Asymptotenpaar der Grenzkegelschnitte, und m a n erhalt somit in der ersten Grenzlage Hyperbeln, in der zweiten (wegen des imaginaren Asymptotenpaares) Ellipsen. Dabei fallen im ersten Falle die doppelt beruhrenden Kreise des einschaligen Hyperboloids das AuBere, die des zweischaligen Hyperboloids das Innere der Hyperbeln aus, wie dies d e m Imaginarund Reellsein des Brennpunktepaares auf der einen und anderen Hyperbelachse entspricht, in die sich die Kreismitten hinein klappen. Im zweiten Fall ist die Grenzflache des einschaligen Hyperboloids das AuBere einer reellen Ellipse, die des zweischaligen Hyperboloids die ganze doppelt iiberdeckte Ebene mit imaginarer Grenzellipse. Beim elliptischen Paraboloid erhalt m a n als die eine Grenzflache das von doppelt ziihlenden Kreisen iiberdeckte Innere einer Parabel, als zweite zwei konzentrische Kreisbiischel, deren jedes die ganze Ebene iiberdeckt, und deren Grenzkurve in die beiden unendlich fernen imaginaren Kreispunkte zerfallt. Beim hyperbolischen Paraboloid sind als Kreisschnittebenen diejenigen 2