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Ebenflaehige Raumgebilde.

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D i e M o d e l l e Nr. 113 u n d 114 stellen in erster Linie die zwei K E P L E R s c h e n Vielflache dar, indem in das Dodekaeder und in das Ikosaeder solche Nebenkanten eingeschrieben sind, daB sie sich im Innern wieder in Ecken eines Ikosaeders und eines Dodekaeders treffen. Werden *dann diese Linien als Kanten eines neuen Vielnachs betrachtet, und solche Flachen durch sie gelegt, daB sie an jeder Ecke ein gewohnliches Vielkant bilden, so sind die so entstehenden Vielflache die beiden KEPLERschen. Es konnen diese noch auf eine zweite Art entstanden gedacht werden, namlich durch Erweiterung der im Innern s c h w e b e n d e n p L A T O N i s c h e n Vielflache, die so als Kerne der KEPLERschen zu betrachten sind. Diese beiden Modelle zeigen aber auch, wie die P o i N S O T S c h e n Vielflache durch Einschreiben oder Umschreiben (Erweitern der Seitenflachen) aus den PLATONischen entstehen, und in gleicher Weise behandeln die Modelle Nr. i n und 112 die in mehrere gewohnliche zerfa lien d e n Vielflache; das erstere zeigt in ubersichtlicher Anordnung die beiden Tetraeder als Halbflachner (Hemiedrien) des Oktaeders und ist deshalb im Unterricht der Kristallkunde vorteilhaft zu verwenden. Die Modelle Nr. 115 und 116 bieten, wie die regelmaBigen Korper, eine Darstellung der Gruppen von Drehungen u m einen festen Punkt und verdienen vor den regelmaBigen Korpern den Vorzug, da sie einmal auf die Gruppen eindeutig bezogen sind und auBerdem fur sie eine Erzeugung aus involutorischen Drehungen (Umwendungen oder Spiegelungen an Achsen) liefern. Die in den Modellen dargestellten Geraden bilden ein geschlossenes System v o n Spiegelachsen. Als Erganzung der beiden ist das Modell Nr. 401 zu betrachten, an d e m (als Durchmesser einer Kugel) drei zueinander senkrechte Geraden angebracht sind, die ein weiteres geschlossenes System ausmachen. Der regelmaBige Funfzehnstrahl Nr. 116 enthalt fiinf (durch Farben unterschiedene) Achsenkreuze, die so liegen, daB mit den Achsen (Strahlen) eines Kreuzes irgend eine weitere Achse die Winkel Y3, x 5 und ,/ eines / 25 Gestreckten einschlieBt. Dieser stereometrische Satz liefert den gruppentheoretischen: W e n n m a n die Spiegelung an jeder der drei Achsen eines Kreuzes mit der Spiegelung an irgend einer anderen der 15 Achsen zusammensetzt, so erhalt m a n gerade die dreierlei in der Gruppe vorkommenden, einander nicht kongruenten, nicht involutorischen Drehungen. Aus diesem Satze folgt dann gruppentheoretisch, dafi in der Ikosaedergruppe sechs einander nicht kongruente regelmaBige Vielflache auftreten: das Ikosaeder und das Dodekaeder und die vier KEPLERschen und PoiNSOTSchen Vielflache. Die 6 Modelle sind vom Herausgeber zuerst fur das mathematische Institut der Universitat Halle angefertigt worden und waren auf den Ausstellungen mathematischer Modelle in Munchen und Chicago im Jahre 1892 ausgestellt., Nur das Oktaeder in Nr. i n ist nachtraglich eingefiigt. M a n vergleiche den Katalog von W . D y c k (Nachtrag 1893, S. 54).