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G. H a u c k ^ Constructive Postulate der Raumgeometrie.

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Senkrechte gedachten Ebene auf AF in F eine Senkrechte: so schneidet diese die gegebene Gerade in d e m gesuchten Schnittpunkt S. Es mochte vielleicht auffallencl oder gar paradox erscheinen, dass die Losung dieser Aufgabe, die wir doch als lineare Aufgabe zu betrachten gewohnt sind, die mehrfache A n w e n d u n g des Zirhels verlangt. Eine Losung, die bloss mit geradeil Linien operirt, lasst sie nicht zu. Es hangt dies eben mit den durch die Euklidischen Postulate gegebenen Constructionsbedingungen zusammen unci durfte in letzter Instanz zu der Theorie der Ebene in Beziehung zu bringen sein. Mit der Anschauungsweise der neueren Geometrie steht es allerdings in directem Widerspruch. Diese hilft sich denn auf einfache Weise dadurcli, dass sie fur ihre Constructionen das neue Postulat einfuhrt: es sei mit einer Geraden und einer Ebene eo ipso audi deren Schnittpunkt, oder mit zwei Ebenen eo ipso auch deren Schnittlinie bestimmt. Der Begriff „lineare Construction" wird yon der Ebene auf den E a u m ubertragen; wahrend er aber dort die blosse Beuutzung yon geraden Linien in sich schliesst, k o m m t im E a u m noch die Ebene liinzu, und es wird nun, entsprechend d e m analytischen Ursprung jenes Begriffes der Schnitt zweier Ebenen oder einer Ebene mit einer Geraden ganz ebenso postulirt wie in der Ebene der Schnitt zweier Geraden. E s findet sich zwar dieses Postulat meines Wissens nirgends ausdrucklich ausgesprochen, es wird nur stillschweigend, vielleicht auch unbewusst angenommen. Aber tiber seine thatsachliche Annahme kann kein Zweifel bestehen. W e n n m a n z. B. sagt, durch den Schnitt eines Ebenenbuschels mit einer geraden Linie sei eine Punktreihe bestimmt. so denkt niemand daran, die einzelnen Schnittpunkte alle erst durch besondere Constructionen zu ermitteln, sondern die Schnittpunkte sind mit dem Ebenenbusehel und cler Geraden eo ipso vorhanden. Schon das Dualitatsprincip yerlangt mit Notwendigkeit eine Gleichberechtigung zwischen Punkt und Ebene ; w e n n daher die Bestimmung der Yerbindungslinie zweier Punkte postulirt wird, so muss notwendig das-