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G. H-auck, Constructive Postulate der Raunigeometrie.

Diese Postulate tibertragen sich claim auch auf den K a u m , insoferne sich ihre Giltigkeit auf jede durch drei Punkte bestimmte Ebene erstreckt. Euklicl denkt sich also, es sei immer mogiich, durch irgend drei beliebige Punkte des R a u m e s eine Ebene zu legen und in ihr die Constructionen der ebenen Geometrie auszufiihren. M a n konnte diese letztere Forclerung, die Euklid zwar nicht direct ausspricht, cleren Yoraussetzung aber aus seinen thatsachlichen Constructionen folgt, zu clen obigen drei planimetrischen Postulaten noch als erganzendes stereometrisches Postulat hinzufugen, Jecle ausgedehntere raumliche Construction setzt sich aus gewissen Fundamentalconstructionen zusammen. Y o n diesen ist die becleutsamste die Bestimmung der Schnittlinie zweier Ebenen oder des Schnittpunktes einer geraclen Linie mit einer Ebene. D a sich jede dieser zwei Aufgaben unmittelbar auf die andere zuruckfuhren lasst, so ist es gleichgiltig, welche m a n als die urspriingiiche nimmt. W i r geben im folgenden der zweiten den Yortritt unci bezeichnen sie kurz als „Schnittpiinhtproblemu'. Merkwurcligerweise gibt sich nun bei Euklicl, clessen constructiver Inhalt tiberhaupt ein beschrankter ist, nirgends ein Anlass zur A n w e n d u n g jener zwei Aufgaben, so class er keinen Grand hat, sich tiberhaupt mit clenselben zu befassen. Dagegen gibt er die Losung der Aufgabe: auf eine gegebene Ebene von einem ausserhalb derselben gegebenen Punkt eine Senkrechte zu fallen, — mit deren Hilfe sich das Schnittpunktproblem sofort eiiedigt. U m von einem Punkt A (vergl. Fig. 1) ^4 eine Senkrechte auf eine Ebene P zu fallen, /|\ zieht m a n in P eine beliebige Gerade B G , P \ fallt (in der durch B G unci A bestimmten /\jS^—/^/ Ebene) A D ± B G , errichtet (in der Ebene P ) L^——£-J B E _L B G unci fallt (in der durch A D unci F & 1D E gedachten Ebene) A F J_ D E : so ist A F die verlangte Senkrechte. *Soll nun der Schnittpunkt einer Geraclen mit einer Ebene bestimmt werclen, so fallt m a n (vergl. Fig. 1) von einem beliebigen Punkt A der gegebenen Geraclen die Senkrechte A F auf die gegebene Ebene unci errichtet in der durch die Gerade unci die