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G. Ha nek, Constructive Postulate der Raumgeometrie.

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a priori, wie sie im foigenden versucht werden soil, gewinnt man ein klares Urteil liber die innere Notwendigheit der Methoden, die zur Losung der Aufgabe dienen; m a n erkennt, was an den ihnen zu Grande liegenden Anschauiingen notwendig und aus welchen Zweckmassigkeitsgrunden das Mcht-notwendige aufgen o m m e n ist. M a n wird bei einem solchen Versuche von den ideellen constructiven Poshdaten der Eaumgeometrie ausgehen miissen, welche m a n auf wirklich vollziehbare Operationen zu rediiciren bestrebt sein wird. Eine Erorterung jener Postulate mochte schon an sich angezeigt erseheinen. Es will mich bedtinken, als ob dartiber vielfach eine gewisse Unbekiimmertheit und Unklarheit herrschte, unci als ob namentlich die Verschiedenheit, die in dieser Beziehung zwischen den Anschauiingen der EuMidischen Geometrie und der neaeren Geometrie besteht, nicht geniigend z u m Bewusstsein g e k o m m e n ware. Wahrend den Axlomen der Geometrie die eingehendsten Untersuchungen gewidmet worden sind, hat m a n sich hinsichtlich der Postulate meist nur auf die Constructionen in der Ebene beschrankt (Mascheroni, Steiner). Das Problem der Bestimmung des Schnittpunkts einer Geraden mit einer Ebene scheint mir in seiner fundamentalen Bedeutung fiir die raumlichconstructive Geometrie, wie sie bei den foigenden Betrachtungen zu Tage treten wird, bisher nicht geniigend gewiirdigt worden zu sein.

§ 1. Die constructiven Postulate der Euklidischen und der neueren Geometrie. Euklid stellt zunachst fiir die Ebene die Postulate auf: Es sei mogiich, 1) von jedem Punkt nach jedem andern eine gerade Linie zu ziehen, 2) eine begrenzte gerade Linie stetig gerade fort zu verlangern, 3) aus jeclem Punkte in jedem Abstande einen Kreis zu beschreiben.