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II. Abteikmg.

1801). Sieben Modelle mit der Darstellimg' von ^Naehbargebieten" auf Fliichen v o m Gcschlechte 1 unci 3. Y o n Privatclozent H. Brunn, Univ. Munchen. Die wichtigsten Forderungen in der Lehre von den Nachbargebieten („spatia confiniau) auf Flachen verschiedenen Geschlechtes vcrdankt m a n den beiden Aufsatzen von Heawood: „Map-Colour-Theorem" (Quarterly Journ. of Math. Nr. 96' 1890) und von Beffter: „Uber das Problem der Nachbargebiete" (Math. Ann. Bel. 38 S. 477 u. ff.). Derletztere hat zur Anfertigung der vorliegenden Modelle angeregt; dortfindet man auch die iibrige einschl. Literatur angegeben. Als n Nachbargebiete oder spatia confinia auf einer Flache bezeichnen wir solche n Gebiete auf derselben, von denen jedes an jedes andere langs einer Linie anstosst. In einer Ebene und auf der Kugel sind bekanntlich nur 4 solcher spatia coDfinia moglich, und umgekehrt, u m vier spatia confinia herzustellen, braucht man kerne Flache von hoherem Geschlecht*) als die Ebene. U m clagegen n ( > 4) spatia confinia zu erhalten, benotigt m a n Flachen von hoherem Geschlecht. Es ergibt sich das Problem : Welches ist das niedrigste Geschlecht, das eine Flache haben kann, wenn auf ihr n spatia confinia moglich sein sollen? Die bisher gelieferten Untersuchungen beschranken sich hiebei auf „Flachen mit nicht umkehrbarer Indicatrix."**) Heffter a. a. 0. hat nachgewiesen, dass sicher M r n < 12 diese niedrigste Geschlechtszahl pn gleich —-———-^-—— ist. Hiebei bedeutet a die kleinste positive ganze Zahl, welche den Zahler cles Bruches durch 12 teilbar macht. Heffter zeigt, dass m a n die — auch bei unseren Modellen eingehaltene — Besehrankung machen kann, es solle jedes Gebiet nur langs einer Linie an jedes andere anstossen, dass ferner die Gebiete einfach zusammenhangende Flachenteile sein konnen und gibt fiir jedes p bis p12 eine Einteilung wirklich an. Der Unterzeichnete hat sich die Aufgabe gestellt, die Einteilung eines Kreisringes in 5, 6 und 7 Nachbargebiete a m korperlichen Modell auszufiihren und dabei die Anordnung cler Gebiete zu einer moglichst regelmassigen und ubersichtlichen zu gestalten. Die in Heffter's Aufsatz gezeichneten oder in Ziffern dargestellten Schemata, so grosse Vorzuge sie haben, geben doch nicht ohne weiteres ein Bild, wie nun die spatia confinia auf der geschlossenen Flache sitzen. Es sind fernei durch die Modelle alle wesentlich verschiedenen Falle erschopft, die oben angefiihrten Beschrankungen vorausgesetzt. Als wesentlich gleiche Anordnungon bezeichnen wir hier solche, M r welche die den Zahlen e3, e4, e5 en beizulegenden "Wertreihen gleich sind, unter ei die Anzahl der Punkte (,,Eckenu) auf der Flache verstanden, in denen i verschiedene spatia confinia zusammenstossen.*) *) Definition s. bei Heffter a. a. 0. Seite 480. **) S. W . Dyck, Beitrage z. Anal. sit. Math. Ann. Bd, 32, p. 437 und 462. *) Zwei solche „wesentlich gleiche" Anordnungen, auf ein und derselben Flache ausgefiihrt, brauchen noch nicht ineinander uberfuhrbar zu sein durch blosse Verschiebung und Zerrung langs der Flache. M a n denke an zwei symmetrisch, wie Bild und Spiegelbild sich verhaltende Anordnungen.