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Geometric. K. L.

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m a n als congruent, bezw. symmetrisch bezeichnen, wenn m a n fiir don R a u m nicht die Euclidische, sondern oine allgemeinere und zwar elliptische Massbestimmung annimmt, unci wenn man ferner den gewohnlichen Begriff der Ebeno auf alle Ebenen und Kugeln iibertragt, welche die (hier als imaginare K u g e l vorausgesetzte) Fundamentalflache der Massbestimmung orthogonal schneiden, Die regularen Einteilungen im dargelegten Sinne lassen sich aus den regularen Korpern im R a u m e von vier Dimensionen ableiten ; es entspricht dann das erste Modell einem Gebilde, das von fiinf regularen Tetraedern, das zweite Modell eijiem solchen, das von aoht regularen Hexaedern begrenzt wird. (Hossfeld.)

L. E b e n e Curven.

148a Curvcn vicrter Ordnung mit zwei Doppelpunkten. 3 lithogr. Tafeln, construct 1882 nach Angabe von stud. H. Wiener von stud. Chr. Wolff. Math. Institut der techn. Hochschule Miinchen. Erzeugung aus 2 — 2 deutigen (im Falle der Curve mit 2 unpaaren Ztigen 3 — 3 deutigen) Punktreihen auf einem Kegelschnitt b. M a n nehme den Kegelschnitt r hinzu und einen Punkt S, dessen Polare in Bezug auf b diesen Kegelschnitt in den Punkten S und S' schneidet. Legt man nun durchS einenStrahl, der ,,ru in den Punkten Q, Q' trifft, nimmt zu einem von diesen die Polare in Bezug auf „bu, verbindet deren Schnittpunkte R, R' mit b je mit S unci S', so sincl die zwei Schnittpunkte dieser Verbindungslinien Punkte der gesuchten C4. S und S' sincl Doppelpunkte dieser Curve, der Punkt ^, sowie die Eckpunkte Z±, S2, S3 cles gemeinsamen Polardreiecks der Kegelschnitte „bu und „ru sind Schnittpunkte der 4 Paare Doppeltangenten, welche die C4 besitzt, also gleichberechtigt, so dass sich jede C4 aus ihnen auf vier (mdess nicht alle uuter einander verschiedene) Arten construiren lasst. 148b Auilosuiig' von singulareii Punkten ebener Curven in die aequivaleiiteii eleiiieiitareii Singularhateii. 4 lithogr. Tafeln, constr. 1883 nach Prof. A. Brill von stud. Schultheiss. Math. Inst, der techn. Hochschule Miinchen. Zusammenriicken 1) von 1 Ruckkehrpunkt und 1 Wendepunkt (Schnabelspitze); 2) von 2 Ruckkehrpunkten; 3) von 2 Ruckkehrpunkten u. 1 Wendepunkt; 4) von 2 Ruckkehrpunkten u. 2 Wendepunkten; 5) von 3 Riickkehrpunkten ; 6) von 4 Ruckkehrpunkten, mit den dualistischen Uebertragungen. Man vgl. den Aufsatz von A. Brill: „Ueber Singularitaten ebener algebraischer Curven." (Math. Annalen, Bd. 16 S. 348 ff.) Die Tafeln 147, 148a, 148b in lithographischer Ausfuhrung (IT. Kohler, Miinchen) in einer Mappe vereinigt

M , Algebraische Flacben.

162a Gypsmodell, nebst zugehorigen PliotogTaphieii einer Flaehe 3. Ordnung* mit 27 reellen Geraden. Von Chr. Wiener, Professor an der Technischcn Hochschule in Karlsruhe, 1868.