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II. Abteilung. Darstellung soldier Formen, welchen zwei oder mehrere sich in ewer Axe schnoidende Symmetrieebenenzukommen, z. B. cler sphenoidisch-hemiedrischen Forinen cles tetragonalen, der rhomboedrisch-hemiedrischen Form on des hexagonalen Systems benutzt werden, wahrend endlich mit Hilfe eines (des dritten) Spiegels diejenigen Formen, welche nur eine Symmetrieebene besitzen, z. B. die pyramidal-hemiedrischen Formen des tetragonalen und des hexagonalen Systems unci die Formen des monoklinen Systems clargestellt werden konnen. (Vgl. die oitirte Abhandlung: Neues Jahrb. f. Mineralogie 1889. Bd. 1 S. 54-65.) (E. Hess.)

137 b Drei Modelle von abwiekclbaren Polycderu in Gestalt von Ziekzaekflachen. Von Prof. Chr. Wiener in Karlsruhe, 1880. Gewohnliche Polyeder sind selbst geschlossen und besitzen geschlossene Seitenflachen; sie sind nicht abwickelbar. Bildet m a n die Seitenflaclien ungeschlossen, indem m a n sie aus einem Paare Scheitelwinkel bestolien lasst, so werden die Polyeder abwickelbar. M a n kann aber auch abwickelbare Polyeder erhalten, wenn m a n die Seitenflachen geschlossen, aber das ganze Polyeder ungeschlossen bildet.. Dann miissen die S u m m e n der Kantenwinkel an jeder Ecke = 4 R, also die Ecken nicht convex, daher wenigstens vierflachig sein. Solche Polyeder sincl in den Modellen hergestellt durch clreimaliges Hin- unci Herbiegen eines Blattes Papier in jedesmal gleich breite Streifen. wobei die Biegungskanten der zweiten und der dritten Streifenschaar sich unter gleichen Winkeln gegen die Kanten der ersten Schaar auf diesen schneiden miissen. Lasst m a n bei beideiiei abwickelbaren Polyedern die Seitenflachen unendlich klein werden, so erhalt m a n als Grenzgestalten abwickelbare k r u m m e Flaohen, und zwar im ersten Falle die gewohnlichen mit unendlich langen ebenen Flachenelementen, im zweiten Falle die bisher nicht bekannten mit ebenen Elementen, die nach jocler Richtung unendlich klein sind. Diese konnen mittels der durch eine unenclliche Reihe dargestellten Weierstrass'schen Cosinnsfunction gebildet werden. Sie sincl vorstellbar, aber nicht durch Zeichnung oder Moclell darsteilbar. (Vergl. Chr. Wiener, Lehrbuch der darstellenden Geometrie, 2. Bd., S. 28 ft., 1887.)*) (Chr. Wiener.) 143a ZweiModelle zur regularen Einteilung des Kauines im Sinne derrVieliteuclidisclien Massbestiininung construirt von Dr. C. Hossfeld in Eisenach. Beicle Modelle stellen die Schnittlinien von Ebenen und Kugeln dar, die den R a u m in eine endliche Anzahl von Tetfaedern einteilen. I m ersten Moclell schneiden sich sechs Ebenen und vier Kugeln und begrenzen 120 Tetraecler, cleren Flachenwinkel —, —, — -, -^-, —, —-• sind; im zweiten Modell schneiden sich neun Ebenen und sieben Kugeln und begrenzen 384 Tetraeder, cleren Winkel — -, —, —, -~-, -^-, -j- sind. Diese Tetraecler kann *) Vgl. hier ferner die Note von H . A . Schwarz im Cours d'analyse professe pendant le 2, Sem. 1881/82 von Hermite, 2. Aufl. „Sur une definition erronee de l'aire d'une surface courbe".