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Geometrie. K.

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Mitten der Gegenkanten verbinden, wahrend dieselben Linien des regelmassigen Ikosaeders (Dodekaeders) das Modell Nr. 2 vorzeigt. Diese Linien bieten ein gruppentheoretisches Interesse dar: in beiden Fallen liegt ein System von Geraden vor, von denen jede an jeder anderen gespiegelt wieder eine Gerade des Systems ergibt; man kann ein solch.es System als ein geschlossenes System von Spiegelaxen und die Spiegelungen an ihnen als ein geschlossenes System von Spiegelungen bezeichnen. A n clerartigen Spiegelsystemen lassen sicli wichtige Operationsgruppen in einfacher Weise herleiten. So erhalt man alle Bewegungen der „Tetraedergruppe^, indem m a n die Spiegelungen an jenen 6 Axen zu je zweien zusammensetzt, die der ^Oktaedergruppe"\ indem m a n hierzu noch die 6 Spiegelungen selbst und die Folgen von je dreien von ihnen zufiigt. Bildet m a n ebenso die Folgen von je zwei Spiegelungen an den in Nr. 2 dargestellten Axen, so erhalt m a n die Bewegungen der „Ikosaedergruppeu. Es sei clarauf hingewiesen, dass die geschlossenen Spiegelsysteme wichtige Dienste zur Aufstellung der „regelmassigen Punktsystemeu bieten, das sind unendliche Punktgruppen, wie sie z. B. in der geometrischen Theorie der Krystallstructur gefordert werden. Siehe fiir die Darstellung dieser Gruppen auch die Modelle der vorigen N u m m e r . b) Die holier en regelmdssigen Korper (Nr. 3 bis 6). Modell 3 stellt die zwei einem "Wiirfel eingeschriebenen Tetraeder, Modell 4 die 5 einem Ikosaeder eingeschriebenen Wiirfel dar. Die Modelle 5 und 6 geben die bekannten vier Poinsot'schen Korper und zwar zunachst Nr. o das zwanzigeckige Sterndodekaeder, r\r. 6 das sterneckigeDodekaedcr, womit gleichzeitig die beiden iibrigen, das zwolfeekige Sterndbdekaeder und das sterneckige Ikosaeder dargestellt werden. (H. Wiener.) 137a Riiuralicher WinkelSpiegel angefertigt von Kriiss, Hamburg, nach Angabe von Prof. E. Hess, Univ. Marburg. Nachtrag zu 137. Ein vierter Winkelspiegel, welcher dem Falle 180° 180° Ai = -^-, Aa = A8 = 9 0 0 ; a i = — . a a = a 3 = 900;m = 4p,(p = 2J34,..., entspricht und welcher von einem im r.nneren der Ecke befindlichen Punkte 4p — 1 Bilder erzeugt, welche mit dem Punkte selbst den Eckpunkten eines gleicheckigen prismatischen (2 -(- p -- p)-flachigen 2. 2p-Ecks | entsprechen, ist ebenfalls nach den Angaben des Unterzeichneten von Dr. Kriiss in der Weise hergestellt worden, class zwei ebene Spiegel u m ihre Schnittkante als Axe drehbar construirt und mit einem dritten zu der A x e senkrechten Spiegel verbunden wurden. a) Fiir p = 2 , A± ••= a.j^.^900, m = 8 erhalt m a n dann mittelst einer passend eingelegten Figur die holoedrischen Formen, wie auch die Combinationsgestalten des rhomuischen unci die pentagonal-hemiedrischen, wie auch die holoedrischen Formen des reguldren Systems; b) Fiir p = 4, A± = at == 45°, m = 16 resultiren die Formen des tetrugonalen, c) Fiir p = 6, A± = a± — 30°, m = 24 diejenigen des hexagonalen Systems. Auch kann dieser Apparat, bei Weglassung des dritten Spiegels, zur