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II. Abteilung. Auf das fertige Fiinfeck falte m a n zuerst die oine (spater die andere) Halfte des Streifens zu solclien Vierecken auf, wie sie oben beschrieben sind. Dies geschieht, inclem m a n die Knickkante und die kiirzere von den parallelen Gegenkanten des Vierecks mit zwei Seiten des Fiinfecks, die breite Basis mit der Diagouale zur Deckung bringt. [Nr. 6.] 9. U m nun das regelmassige Dodekaeder zu bekommen, ist es nicht notig, fertige Funfecke zusammenzusetzen, sondern die Reihe der Vierecke geniigt. M a n bilde eine aus 6 Yierecken bestehende Zone dadurch, dass man das 7. auf das erste klebt. Knickt m a n dann das 8. Vioreck u m , so legt es sich halb auf das 1. (7.) und so entsteht das erste Fiinfeck. Die mit dem 8. Viereck beginnende zweite Zone schliesst im ganzen vier Paai'e von Vierecken zu je einem Fiinfeck zusammen, die ebenso angefiigte 3. und 4. Zone je zwei und die 5. Zone die 4 uoch fehlenden Funfecke und damit ist das Dodekaeder fertig. Dabei sind z u m ersten Fiinfeck 10, z u m gegeniiberliegenden 5 und zu deu iibrigen zehn je 2 Vierecke verwandt. [Nr. 16.] 10. Fiigt m a n zu den 35 Vierecken noch ein weiteres bei, so legt es sich umgeknickt congruent iiber das erste Viereck, so dass eine daran gehangte 6. Zone wieder die 1. Zone iiberdecken wiirde. Klebt m a n das 36. auf das erste und lost alle iibrigen Verbiudungen , so erhalt m a n eiu geschlossenes Band, das — weil im Streifen das 36. ungleiche Lage mit dem 1. hat — einmal gedreht ist (unter Umstanden audi 3-, 5 mal), also im Mobius'schen Sinne eine einseitige Flaehe darstellt. [Nr. 14.] In gleicher "Weise lasst sich beim Ikosaeder durch Zufiigen einer 34. Dreiecksflache ein einmal verdrehtes, geschlossenes Band herstellen. [Nr. 11.] Beim Oktaeder ist noch eine dritte Zone hinzuzufiigen, dann die 22. Flaehe auf die 1. zu kleben, so erhalt m a n ein ebensolches Band. Auch der Wiirfel lasst sich in zwei Zonen aus einem solchen verdrehten Bande zusammenfalten, das aus 10 Quadraten besteht, von denen das letzto auf das erste geklebt ist und von denen zwei in je zwei Dreiecke zerlegt sind. Wir erhalten das Ergebnis: Die regelmassigen Korper: Wiirfel, Oktaeder Ikosaeder, Dodekaeder lassen sich aus einem einmal verdrehten geschlossenen B a n d durch geeignetes Fatten und Zusammenkleben herstellen, loenn nur das Verhdltnis von Lange und Breite des Bandes fur jeden dieser Korper richtig gewahlt ist. In Nr. 12 und Nr. 15 ist die Art des Zusammenfaltens fur Ikosaeder und Dodekaeder dargestellt. Fur das Tetraeder bilden die 5 Dreiecke, von denen das letzte auf das erste geklebt ist, von selbst ein geschlossenes, aber unverdrelites Band. (H. Wiener)

132b G Modelle hergestellt aus Dralit mit eiiigespauutciiFadcii, nach Angabo von Privatdocent H. Wiener, math. Institut der Universitat Halle a/S. *) a) Die geschlossenen Systeme von Spiegelaxen zur Erzeugung der Bewegungsgruppen d$r regelmassigen Korper (Model! Nr. 1 und 2). Nr. 1 stellt die 6 Linien des regelmassigen Oktaeders (Wiirfels) clar, welche die *) Schrank Nr. (6).