Repository: UIHistories Project: Mathematical Model Catalog (1892 - German) [PAGE 486]

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I. Abteikrag.

dass die mit cp (x) bezeichnete Reihe d. h. die mit den Erzengenden f (x) gebildete Mac Lauriri'sche Entivickelung fiir jedes noch so kleine x divergirt, falls X positiv, dagegen fiir jedes noch so grosse x conver) girt, falls X negativ. Im ersteren Falle wird also f(x) ein Beispiel einer Function darstellen, welcher trotz dor Endlichkeit aller DifferentialQuotienten jeder endlichen Ordnung, eine fiir jedes x div erg onto MacLauriri'sche Entivickelung zukommt; im zweiten Falle erzeugt dagegon f(x) eine con vergente Mac-Lauriri'sche Reihe, deren Sum me c fx) jedoch p nicht mit f (x) iibereinstimmen kann, da, nach dem zu Anfang gesagten, fiir f(x) die Entvvickelbarkeit nach Potenzen von x von vornherein ausgeschlossen erscheint. Urn iiber die Grosse der Abweichnung zwischen f (x) and c fx) oinon p deutlichen Ueberbliok zu gewinnen, habe ich die Curven mil den Gleichungen : y = 2f(x) Y1 = 2<p(x) fiir das Intorvall 0 < x < 1 und fiir verschiedene Werte dos Parameters a construiren lassen. Fiir den anderen verfugbaren Parameter X wurdo als bosonclers bequem fiir die Rechnnng ein fiir allemal der "Wort X = lg J = - lg 2 gevvahIt, so dass also ( x ) _ y v (rr}?jy. 1 \-vy - /iy v , ! 1 + a2V *9 x" 0 2 V ? ( x ) = 2 v (-l)v. (I)a • x In der beigegebenen Figuren-Tafel sind die f-Curven durch schwarze, die cp-Curven durch rote Linien dargestellt. Es liegt anf der Hand, dass die Abweichung zwischen einer f- Curve und der entsprechenden d. h. zu dem namlichen Werte von a gehorigeu cp-Curve urn so starker hervortreten wird, je grosser a ist. Legt man a die beiden extremen Werte a — 1 und a — co bei, so ergibt sich fiir a = 1: 0 «, , _ 1 0 ,. 1 (letztere Gleichung unter der Vorans2tW-TTY> ^ W ~ T + ^ setzungx2<l) d. h. fiir a = 1 fallen in clem betrachteten Intervalle die f- unci die <o-Curve in eine gewisse Curve 3. Ordnung zusammen. Dagegen wird fiir a — co 2f(x) = I^ 2?(x) = l d. h. die f-Curve ist in diesem Falle cliejenige Curve 3. Ordnung, deren Ordinate durch Verdoppelung der zu a = 1 gehorigen entstehen; wahrend die cp-Curve in eine Parallele zur x-Axe im Abstande 1 iibergeht. Zwischen diesen Extremen verlaufen nun die f- und die (p-Curven fiir 1 < a < oo, wie dies in der Figur fiir a ~ VsT, 2, 2 > % a = VIoOO dargestellt ist. Fiir a = V'2 ist die Abweichung zwischen der f- und der cpCurve fiir 0 < ^ x < 0 , 5 bei dem gewahlten Masstabe noch gar nicht, fiir 0,5 < x < 1 immerbin sehr schwach merklich. Sie wird dagegen schon sehr cleutlicli fiir a — 2 und noch mehr fiir a = 2]^2; im letztereii Falle verlauft die cp-Curve schon sehr nahe an der fiir a = oo resultirenden Ge-