Repository: UIHistories Project: Mathematical Model Catalog (1892 - German) [PAGE 482]

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I. Abteilung. unci nimmt man zwei bestimmte Ebenen senkrecht zur x-Axe an, z. B. x = — 10 und x = -j- 10, so findet man fur die Scknittpunkte mit cliesen Ebenen y = — u (u - 20)] y = - u (u + 20 } z= ua(u + 30l ' z= u2(u — 30 I ' Zeichnet man nun auf zwei einander gegeniiberstekenden Ebenen eines "Wiirfels von Pappendeckel, welcker so mit dem Coordinatensysteme in Verbindung gebracht ist, dass diese Ebenen den Gleicliungen x = — 10, x = + 1.0 entsprechen, die Punkte (y, z), welche man erhalt, wenn man in die letzten Gleichungen fiir u nach einander die Werte — 10, — 9, — 1, 0,1 ... 9, 10 einsetzt, und verbiudet dann je die Punkte, welche clem namlicken Werte von u entsprechen, so entsteht das gesuchte Modell. Modell II. Das zweite Modell entspricht derGlei cliuag u4 + 6xu2 -(- 4yu -(- z = o. Es teilt den Raum in drei Teile, deren Punkte entweder vier, zwei oder keine reellen Wurzeln zeigen. Es muss die Flacke also sioh selbst durolisetzen unci desshalb eine Doppellinie besitzen. Es ist die Generatrix u8 + 3xu + y = ol y - - u (u2 + 3x) ) 3xu2 -J- 3yu -f z = o J ' ' ' z = 3u2 (u2 + 2x) I unci die Ruckkekrlinie ua -f- x = ° ) x = — u2 I 2xu-f-y = o >, d. h. y = 2u3 > • xii2 + 2yu + z = o J z = — 3u4 | Fiir jeden Punkt der Doppellinie hat die Gleichung zwei Paar gleiohe Wurzeln unci ist das erste Gliecl das Quadrat von u2 -- 3x. Desshalb ist die \ Parabel y = o, z = 9x2 die Doppellinie; nur die mit negativen Werten von x auftretende Halfte ist Ort von Knotenpunkten; die Paare von Generatrices, welohe sick auf der anderen Halfte begegoen, sincl imaginar. Es sincl hier die Ebenen x = — 16, x — 4 verweudet. Modell 111. Wenn man untersuchen will, welche Form die Flache annimmt bei einer Teilung des Raumes in vier Gebiete, so kann man sick der Gleicbung u6 — 15u4 -- 15xu2 + 6yu 4- z = o bedieiien. Es ist die | Generatrix • y = . — u (u4 — 10a3 4- 5x), z = 5li2 (u4 — 9u2 4- 3x) nod zur Construction sind die Ebenen x = — 2, x — 10 verwenclet worclen. Jedeafalls ist ebenso wie beim zweiten Modell der Boden cles Wiirfels auch beniitzt. Die Riickkehrlinie ist x = — u2 (u2 — 6), y — 4u3 (u2 — 5), z = — 5u4 (2u2 — 9) und die Doppellinie bestekt aus zwei Teilen. Auf clem einen, der rationaleu ebenen Curve y = o, (z -}- 25x)2 -- 100 (x — 5) (z 4- 5x2) = o mit clem Riick\ kekrpunkte x = 5, z = — 125 (Riickkekrtangente z 4- 75 x = 250) tritt die Kealitat der beiden clurck den Doppelpunkt gekenden Generatrices in den beiden Fallen x ;> 0 unci x < 0, z < 0 ein. Auf dem anderen, der rationaleu Raumcurve 9x = 16v4 — 36v9 4- 45, 9y = 2v3 (8va - 15), 27z = 5 (4v2 — 3) (8v2 - I5)2, deren Parameter v mittelst der Gleichung 3u2 — Guv 4- 8v2 = 15 mit u verkniipft ist, tritt die Realitat der beiden durck den Doppelpunkt gekenden Generatrices nur unter der Bedingung v2 <. 3 ein.