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A. Brill, Singularitaten algebraischer Ctirven.

Zweige sich andert, wie Ovale durchs Unendliche sich clehnencl auf der gegeniiberliegenden Seite der Zeichenebene wieder z u m Yorschein k o m m e n , wie Curvenaste durch Bildung neuer Doppelpunkte sich mit anderen vereinigen oder abschnuren, oder wie einfach singulare Punkte mit andern zu hohern zusammenwachsen. Solche Beobachtungen an der Zeichnung waren es, die mich veranlassten, das Hilfsmittel der stetigen Deformation von Curven mit gewohnlichen Singularitaten in solche mit zusammengesetzten „maskirtena in grundsatzlicher Weise fur das Yerstandnis der letzteren zu verwerten, wobei claim spater das Bedurfnis einer strengern Begrundung gebot, die Anschauung durch algebraische Methoden zu ersetzen. Die Singularitaten erscheinen zur Zeit — hauptsachlich durch die oben genannten Arbeiten — in den Mittelpunkt cler Theorie der algebraischen Curven gerxickt. Seit Puiseux's Untersuchungen nimmt audi die Theorie der algebraischen Functionen an ihnen ein hervorragencles Interesse, an sie knupft seit Biemann und Glebsch der Begriff des Geschlechtes an. Nach beiden Richtungen hin, der geometrischen wie der fanctionentheoretischen, erweist sich der Satz von Cayley fiber die Aquivalenz einer hoheren Singularitat mit einer gewissen Anzahl von elementaren als wichtig. Aber es fehlte lange an einer Begrundung und U m grenzung desselben. H. J. S. Smith hat in clieser Absicht die Reihenentwickelungen, die eine Singularitat definiren, auf den Einfluss untersucht, den sie auf die Discriminanten der Curvengleichung und der zu ihr reciprocen Gleichung besitzen, und ist zu wichtigen Beziehungen zwischen den zugehorigen Zahlen gelangt. Aber abgesehen davon, dass Smith's Beweis z u m Teil auf nicht algebraischer Grundlage beraht und indirect ist, lasst er audi die Frage unerledigt, ob jene Aquivalenz mehr als bloss eine numerische ist, d. h. inwieweit jede hohere Singularitat durch wirkliches Zusammeurucken von nur einfachen (elementaren) singularen Punkten entstehen kann. In einer Abhandlung „tFber die Singularitaten algebraischer Curven und eine neue Curvenspeciesu (Math. Annalen Bd. 17) habe ich versucht, durch stetige U m w a n d l u n g einer Curve, welche mit einer beliebigen, durch vorgegebene Entwickelungen definirten