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Geometric. (J.

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Modelle der beiden Hauptarteii der „FaItenpiiiikte" von Professor D. J. Korteweg, Univ. Amsterdam. "Wenn eine Doppeitangentialebeno sich liber die Fliiche, welclie sie doppelt beriihrt, fortbewegt, k o m m t es vor, dass die beiden conjugirten Berlihrungspunkte (die Oonnoden) zusammenfallen. Die Punkte der Flache, in welchen dies geschieht, werden Faltenpunkte genannt, weil solche Punkte sioh a m Anfang undEnde einer jeden Falte (man denke z. B. an den Faltenwurf eines Kleides) vornndeo. In einem Faltenpunkte berlihren sich die Flecnodalcurve (Carve der vierpunktigen Tangenten), die Spinoclalcurve (Curve der parabolischen Punkte) und die Connodalcurve. Auf den Modellen i»t die erste dieser Curven nicht angegeben, die zweite, welche die Grenze zwischon dem negativ gekriimmten (blaugefarbten) Teile der Flache und dem positiv gekriimmten bildet, ist durcb eine rote, die Connodalcurve durch eine blaue Linie angedeutet. Die beiden Modelle Nr. 1 und 2 vergegenwartigen die beiden Hauptarten der Faltenpunkte. Diose unterscheiden sich erstens dadurch, dass die Connodalcurve bei der ersten Hauptart auf dem positiv — bei der zweiten auf dem negativ gekriimmten Teile der Flache liegt; ziveitens ist auch der Tangentialdurchschnitt a m Faltenpunkte verschiedeo. Bei der zweiten Hauptart zeigt dieser Schnitt zwei reelle, sich im Faltenpunkte beriihrende Zweige, bei der ersten Hauptart sind diese beiden Zweige imagioar und ist also der Faltenpunkt eiu isolirter Punkt mit reeller Tangente. Weiteres liber Faltenpunkte und iiber die singularen Punkte der Flachen, die als vielfache Faltenpunkte zu betrachten sind, findet m a n Wiener Berichte, Bd. 98, A M . U , S. 1154. 1889. Uber ihre Bedeutung in der Thermodynamik sehe m a n Maxwell, Theory of Heat, Chapter X l l , und van der Waals, Theorie moleculaire d'une substance composee de deux matter es differ entes, Archives Neerlandaises, T o m e 24. (1891.) (D. -J. Korteweg.) Modelle von deformirteii Iioiiiogeiieii „I)oppelfalteiipimkten"5 von Prof. D. J. Korteweg, Univ. Amsterdam. In einer 1890 in den Archives Neerlandaises, T. 24, p. 295 veroffentlichtcn Abhandlung „ L a theorie generate desplis et la surfacetyde van der Wards'- babe ich im ersten Abschnitte die Re'sultate angegeben einer Untei'suchung iiber das Entstehen, Yerschwinden und Zusammenfiiessen der Falten einer in stetiger Umformung begriffenen Fliiche und iiber die singularen Punkte, die dabei eine Rolle mitspielen. Die orsto der drei dort beschriebenen Entstehungsweisen einer Falte, die aus einem homogenen Doppelfaltenpunkte der ersten Art, illustrirt Modell Nr. 8. Wird namlich die auf diesem Modelle dargestellte Falte rlickwiirts deformirt, dann zielit sie sich zu einem homogenen Doppelfaltenpunkte (homogen weil die beiden Faltenpunkte zur selben Art ge-