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Geometric. Q. 28

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Modcllc fur die verscliiedeiieii Typeu c-onisclicr Kiioteiipunktc mit Angabe des Verlaufes der parabolischen Curve und der Ilaupttaiigeiitencurveii in der Umgcbuiig dieser Punkte. Ausgefiihrt 1891 im Math. Institut der techn. Hochschule Munchen (Prof. Dyck und Finsterwalder) von Keallehrer A. Sucharda in Prag. Berucksichtigt m a n in der Taylor'schen Entwicklang der Flachengleichung im Knotenpunkt die Glieder zweiter und dritter Grdnung

% + «3 + . . . = o.

so hat m a n bekanntlich nach der Realitat der sechs Schnittgeraden der Kegel zweiter Ordnung u3 = o, und dritter Ordnung u3 = o vier Hanptfalle zu unterscheiden: 6, 4, 2, 0 dieser Schnittgeraden reell. Zur Darstellung dieser Falle sind mit Vernachlassigung von Gliedern hoherer Ordnung moglichst einfache Gleichungen zu Grunde gelegt: a) (x2 + y2 — b V ) — X y (3 x2 — y2) = o b) (x2 -f- y'2 — b2z2) — I z (x2 — y2) = o c) (x2 -f y2 — b2za) — X x z2 = o d) (x2 -}- y'2 — b'2z2) — I z3 = o W e n n nun auch in den gewahlten Beispielen gewisse mit der Einfachheit der A n n a h m e n verbundene Specialisirungen auftreten, so sind dieselben doch andererseits allgemein genug, u m Hauptmerkmale der verschiedenen Kategorien zu versinnlichen. Die Haupttangentencurve beriihrt im Knotenpunkt die oben erwahnten Schnittgeraden von u2 = o und u3 = o in sechs durch den Knotenpunkt laufenden (reellen bez. imaginaren) Asten. Projicirt auf die xy-Ebene gestaltet sich ihr Verlauf (schematisch) wie folgt:

Fig. 1.

Fig. 2.

Fig. 3.

In den Fallen a und c liegt die Flache symmetrisch zur xy-Ebene; die Figuren 1 und 3 sind also doppelt zahlend fur den oberen und unteren Teil der Flache zu denken. Es sind 6 bez. 2 Teile positive!* Krfimmung, welche im Knotenpunkte zusammenstossen. Im Fall b ist die Flache nicht symmetrisch zur xy-Ebene, vielmehr der obere Teil gegen den unteren u m 90° verdreht. Die ansgezogenen bez. punktirten Linien der Figur 2 beziehen sich auf den oberen bez. unteren Teil. Es stossen 4 positiv gekrtimmte Flachenteile im Knotenpunkt zusammen.