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Geometrie. N.

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auch die Charaktere der Flachen angegeben sind. (Vergl. audi Salmon anal. Geoni. d. Raumes II. Aufl. pag. 78.) Von Bjorling riihrt noch eine zweite (hier niclit ausgestellte) Serie von Modellen von Raumcurven nnd Developpablen-Singularitaten her. 1. Developpable einer cubischen Parabel. x2 = ay, xy = bz; Gleicbung der Flache: 4 b x 8 z - 3 a x V - 6 a b x y . z 4- 4 a3y3 + ab8z2 == 0. 2. Abwickelbare Flache, die zwei Kreisen umbeschrieben ist, die sich in zwei zu einander senkrechten Ebenen beflnden und beide die Schnittlinie derselben beriihren. 3. Die Ruckkehrcurve dieser abwickelbaren Flache hat die Gleichnng 3 x2 -- 3y2 -f- 2 x z = 0, z2 — ax, ist 4. Ordnung und besitzt einen \ stationaren Punkt und eine stationare Ebene. Die Doppelcurve ist eine Hyperbel. Gleicbung der Flache x . (9 x2 + 9y2 -f z2 + 6 xz — ak)2 + 4(3x2H-3y2+2xz).(9x2z+9y2z + ^ + 6xz2 + axz-[-3ax2-|-3ay2)==:0. 4. Osculirende Developpable der Curve vierter Ordnung y2 -\-z2 = a2, y2 = ax. Letztere besitzt vier stationare Ebenen und einen im Unendlichen liegenden isolirteii Doppelpunkt. Die Doppelcurve besteht aus zwei ebenen Curven dritter Ordnung. Gleicbung der Flache: (xy2 -j- xz2 -f- az2 — a3) = 4 y2 (ax + z2 — a2) (y2 + z2 — a2). 5. Desgl. der Curve vierter Ordnung x2 + y2 -(- z2 = a2, x2 -(- y2 = ax. Die Cuspidalcurve besitzt zwei reelle und zwei imaginare stationare Ebenen und einen Doppelpunkt. Die Doppelcurve ist in zwei ebene Curven dritter Ordnung zerfallen. Gleicbung der Flache [(x-a)8 + xy2 •+ ( a - 2 x ) z 2 f = = 4y2 (ax + z2 - a2) [(x - a)2 + y2 - z2j. 6. Developpable, umgeschrieben zwei Kreisen in senkrechten Ebenen, von welchen der eine die Ebene des and e m beriihrt. Die Ruckkehrcurve ist hier sechster Ordnung und besitzt vier reelle stationare Tangenten, zwei reelle stationare Punkte und eine Doppelschmiegungsebene. Die Doppelcurve ist vierter Ordnung und besteht aus einem Kreis und einer Parabel. 7. Osculirende Developpable der Curve vierter Ordnung: ' x2 + y2 + z2 = 302, x2 + y2 = 31 x, welche sechzehn stationare Tangentialebenen besitzt, wo von vier reell sind. Die Doppelcurve sechzehnter Ordnung zeriallt in vier ebene Curven vierter Ordnung, von welchen zwei reell sind. 18